Ortogonalize a seguintes base segundo o produtos usual de
:
Passo 1
O enunciado pede para ortogonalizar a base
v1,v2,v3subsetR^3
com o produto escalar usual, onde
com o produto escalar usual, onde
Para isso usaremos o processo de Gram–Schmidt, que gera vetores
u1,u2,u3 ortogonais tais que
onde
Passo 2
Definimos
Note que
lang<= u1,u1rang<= = 1^2+1^2+0^2 = 2 .
Passo 3
Calculamos
onde
lang<= v2,u1rang<= = 1cdot1 + 0cdot1 + 1cdot0 = 1 .
Logo
Logo
e então
Verifique que
lang<= u2,u2rang<= = tfrac14 + tfrac14 + 1 = tfrac32 .]
Passo 4
Agora
Primeiro,
lang<= v3,u1rang<==1 , dá
proju1(v3)=tfrac12(1,1,0)^T .
Depois,
lang<= v3,u2rang<= =0cdottfrac12 + 1cdot(-tfrac12) + 1cdot1 = tfrac12 ,
então
Depois,
então
Subtraindo,
Resposta
Uma base ortogonal obtida é
Esses vetores são mutuamente ortogonais no produto escalar usual de
R^3 .]