Ortogonalize a seguintes base segundo o produtos usual de R^3 :
[l 1 1 0 ],[l 1 0 1 ],[l 0 1 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para ortogonalizar a base
v1,v2,v3subsetR^3
com o produto escalar usual, onde
v1 = 110, v2 = 101, v3 = 011
Para isso usaremos o processo de Gram–Schmidt, que gera vetores
u1,u2,u3 ortogonais tais que
u1 = v1, uk = vk - sumj=1^k-1projuj(vk),
onde
proju(v) =lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u

Passo 2

Definimos
u1 = v1 = 110
Note que
lang<= u1,u1rang<= = 1^2+1^2+0^2 = 2.

Passo 3

Calculamos
u2 = v2 - proju1(v2),
onde
lang<= v2,u1rang<= = 1cdot1 + 0cdot1 + 1cdot0 = 1.
Logo
proju1(v2) = 12110 = tfrac12[4pt]tfrac12[2pt]0,
e então
u2 = tfrac12[4pt]-tfrac12[2pt]1
Verifique que
lang<= u2,u2rang<= = tfrac14 + tfrac14 + 1 = tfrac32.]

Passo 4

Agora
u3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3)
Primeiro, lang<= v3,u1rang<==1, dá
proju1(v3)=tfrac12(1,1,0)^T.
Depois,
lang<= v3,u2rang<= =0cdottfrac12 + 1cdot(-tfrac12) + 1cdot1 = tfrac12,
então
proju2(v3) = tfrac12tfrac32tfrac12[4pt]-tfrac12[2pt]1 = tfrac16[4pt]-tfrac16[2pt]tfrac13
Subtraindo,
u3 = 011 - tfrac12[4pt]tfrac12[2pt]0 - tfrac16[4pt]-tfrac16[2pt]tfrac13 = -tfrac23[4pt]tfrac23[2pt]tfrac23 ]

Resposta

Uma base ortogonal obtida é
110,; tfrac12[4pt]-tfrac12[2pt]1,; -tfrac23[4pt]tfrac23[2pt]tfrac23
Esses vetores são mutuamente ortogonais no produto escalar usual de R^3.]

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