Determine as coordenadas dos vértices, focos, centro e a equação reduzida da elipse de equações paramétricas
.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
de uma elipse. Queremos encontrar o centro, a equação reduzida, os vértices e os focos. Usaremos a forma padrão da elipse obtida ao eliminar o parâmetro.
Passo 2
Observando
e
, concluímos que a elipse é obtida a partir de uma elipse centrada em
com semi-eixos
e
, transladada para o ponto
Como
, o eixo maior é horizontal.
Passo 3
Eliminamos
pela identidade
. Das paramétricas temos
Logo,
Passo 4
Os vértices estão nos extremos dos eixos.
– Eixo maior (horizontal), :
– Eixo maior (horizontal),
– Eixo menor (vertical),
:
Passo 5
Os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior, com
Assim os focos são
Resposta
Centro:
Vértices:
Focos:
Equação reduzida:
Vértices:
Focos:
Equação reduzida: