Determine as coordenadas dos vértices, focos, centro e a equação reduzida da elipse de equações paramétricas lx=3+20 cos theta y=2+16 sen theta.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x = 3 + 20costheta, y = 2 + 16sintheta
de uma elipse. Queremos encontrar o centro, a equação reduzida, os vértices e os focos. Usaremos a forma padrão da elipse obtida ao eliminar o parâmetro.

Passo 2

Observando x = 3 + 20costheta e y = 2 + 16sintheta, concluímos que a elipse é obtida a partir de uma elipse centrada em (0,0) com semi-eixos a=20 e b=16, transladada para o ponto
(3,2)
Como a>b, o eixo maior é horizontal.

Passo 3

Eliminamos theta pela identidade cos^2theta + sin^2theta = 1. Das paramétricas temos
costheta = x-320, sintheta = y-216
Logo,
(x-320)^2 + (y-216)^2 = 1

Passo 4

Os vértices estão nos extremos dos eixos.
– Eixo maior (horizontal), a=20:
(3pm20,;2);Rightarrow;(23,2) e (-17,2)
– Eixo menor (vertical), b=16:
(3,;2pm16);Rightarrow;(3,18) e (3,-14)

Passo 5

Os focos estão a uma distância c do centro ao longo do eixo maior, com
c^2 = a^2 - b^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144, c = 12
Assim os focos são
(3pm12,;2);Rightarrow;(15,2) e (-9,2)

Resposta

Centro: (3,2)
Vértices: (23,2),,(-17,2),,(3,18),,(3,-14)
Focos: (15,2),,(-9,2)
Equação reduzida:
(x-3)^2400 + (y-2)^2256 = 1

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