Os focos de uma hipérbole são os pontos F1(6,2) e F2(6,12), o comprimento do eixo imaginário é 6 . Determine a sua equação reduzida e a excentricidade.

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida e a excentricidade de uma hipérbole cujos focos são
F1(6,2), F2(6,12)
e cujo comprimento do eixo imaginário (eixo conjugado) é 6. Vamos usar:
  • Centro como ponto médio dos focos,
  • Distância focal c,
  • Relação característica da hipérbole c^2 = a^2 + b^2,
  • Eixo imaginário dado por 2b=6.

Passo 2

Calcular o centro (h,k) como ponto médio de F1 e F2:
h = 6+62=6, k = 2+122=7
Logo o centro é (6,7).

Passo 3

Observar que os focos estão alinhados verticalmente, logo o eixo real (transversal) é vertical e
c = distância do centro a um foco = |12-7| = 5 â

Passo 4

Como o eixo imaginário tem comprimento 2b=6, segue que
b = 3

Passo 5

Usar a relação c^2 = a^2 + b^2 para achar a:
a^2 = c^2 - b^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16,
portanto
a = 4

Passo 6

Escrever a equação reduzida de uma hipérbole de eixo real vertical e centro (6,7):
(y-7)^2a^2 ;-;(x-6)^2b^2 ;=;1
Substituindo a^2=16 e b^2=9:
(y-7)^216 - (x-6)^29 = 1

Passo 7

Calcular a excentricidade e = ca:
e = 54

Resposta

Equação reduzida:
(y-7)^216 ;-;(x-6)^29 = 1
Excentricidade:
e = tfrac54

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