Provar que a única solução em
da equação,
, na variável
é
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a equação
onde
são inteiros dados. O que precisamos usar é que
é um grupo abeliano, logo cada
tem inverso aditivo
, e a adição é associativa e comutativa.
Passo 2
(Existência) Vamos verificar que
realmente satisfaz a equação. Por definição de subtração em
, temos
. Então
pelo associativismo da adição é
Portanto
, ou seja,
é uma solução.
Passo 3
(Unicidade) Suponha que exista alguma outra solução
tal que
Somando
em ambos os lados, usando associatividade, obtemos
Logo qualquer solução
coincide com
, provando que não há outra.
Resposta
A única solução em
da equação
é