Provar que a única solução em Z da equação, x+a=b, na variável x é b-a.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em Z a equação
x + a = b
onde a,b são inteiros dados. O que precisamos usar é que (Z,+) é um grupo abeliano, logo cada a tem inverso aditivo -a, e a adição é associativa e comutativa.

Passo 2

(Existência) Vamos verificar que x = b - a realmente satisfaz a equação. Por definição de subtração em Z, temos b - a = b + (-a). Então
(b - a) + a ;=; l(b + (-a)r) + a
pelo associativismo da adição é
= b + l((-a)+ar) = b + 0 = b
Portanto (b - a) + a = b, ou seja, x=b-a é uma solução.

Passo 3

(Unicidade) Suponha que exista alguma outra solução x0inZ tal que
x0 + a = b
Somando -a em ambos os lados, usando associatividade, obtemos
x0 = (x0 + a) + (-a) = b + (-a) = b - a
Logo qualquer solução x0 coincide com b-a, provando que não há outra.

Resposta

A única solução em Z da equação x + a = b é
x = b - a

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