Informe se os pontos abaixo são colineares ou podem ser vértices de um triângulo:
A(-1,0,2), B(32, 1,-1) e C(4,1,-4)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos
A(-1,0,2), Bl(tfrac32,1,-1r), C(4,1,-4)
são colineares ou não, ou seja, se eles podem ser vértices de um triângulo.
Conteúdo: geometria analítica no espaço, uso de vetores e teste de colinearidade.

Passo 2

Calcular os vetores AB e AC:
AB = B - A =l(tfrac32-(-1),,1-0,,-1-2r) =l(tfrac52,,1,,-3r),
AC = C - A =(4-(-1),,1-0,,-4-2) =(5,,1,,-6)

Passo 3

Testar se AB e AC são múltiplos escalares:
se existisse lambda tal que AC=lambda,AB, teríamos
(5,1,-6)=lambdal(tfrac52,1,-3r) =(tfrac5lambda2,lambda,-3lambda)
Comparando a segunda componente: 1=lambda, mas aí a primeira daria tfrac5lambda2=tfrac52ne5.
Logo não existe lambda e os vetores não são colineares.

Passo 4

Como verificação extra, calcular o produto vetorial
ABtimesAC = i&j&k tfrac52&1&-3 5&1&-6 =(-3),i-0,j+l(-tfrac52r),k =(-3,,0,,-tfrac52),
que é um vetor não-nulo. Isso confirma que AB e AC não são colineares.

Passo 5

Como os vetores não são colineares, os pontos A, B e C não estão na mesma reta e, portanto, podem ser vértices de um triângulo.

Resposta

Os pontos não são colineares e podem formar os vértices de um triângulo.

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