Determine as coordenadas [v]alpha do vetor v em relação a base alpha no espaço vetorial R^2, em cada item.
Vetor: v=(2,3); Base: alpha=(1,2),(3,-1).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor v=(2,3) como combinação linear dos vetores da base alpha=(1,2),(3,-1). O conteúdo aqui é coordenadas em uma base: vamos supor v=c1(1,2)+c2(3,-1) e resolver o sistema para encontrar c1 e c2.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear temos
c1(1,2)+c2(3,-1)=(2,3),
o que gera o sistema
c1+3c2=2, 2c1 - c2=3

Passo 3

Da primeira equação isolamos c1:
c1 = 2 - 3c2
Substituindo na segunda:
2(2-3c2) - c2 = 3 ;Longrightarrow; 4 -6c2 - c2 = 3 ;Longrightarrow; 7c2 = 1 ;Longrightarrow; c2 = tfrac17

Passo 4

Voltando em c1 = 2 - 3c2 obtemos
c1 = 2 - 3cdottfrac17 = tfrac147-tfrac37 = tfrac117

Resposta

As coordenadas de v em relação à base alpha são
[v]alpha = l(tfrac117,,tfrac17r)

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