Determine a matriz da transformação linear [T]beta^alpha em relação às bases dadas.
T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(x+y, 2 x-y, x-y); Bases: alpha=(1,1),(2,-1) e beta=(1,1,1),(2,-1,1),(2,1,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (x+y,;2x - y,;x - y),
a base do domínio
alpha = ,v1=(1,1),;v2=(2,-1)
e a base do contradomínio
beta = ,w1=(1,1,1),;w2=(2,-1,1),;w3=(2,1,0)
Para achar a matriz [T]beta^alpha, vamos calcular T(v1) e T(v2) e escrever cada um como combinação linear de w1,w2,w3. Essas coordenadas formam as colunas de [T]beta^alpha.

Passo 2

Calculamos
Buscamos tais que
isto é,
Decompomos em sistema:
Da terceira equação , , .
Logo as coordenadas de em são ; esta será a primeira coluna de .

Passo 3

Agora
Procuramos tais que
que gera o sistema
Da última equação em são ; esta será a segunda coluna de .

Passo 4

Juntando as colunas obtidas, a matriz de T relativa a alpha e beta é
[T]beta^alpha = 0 & tfrac195 [6pt] 0 & -tfrac45 [6pt] 1 & -tfrac35 ]

Resposta

[T]beta^alpha = 0 & tfrac195 [6pt] 0 & -tfrac45 [6pt] 1 & -tfrac35 ]

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