Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares a seguir.
T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+y+z, x+2 y-2 z)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3toR^2, T(x,y,z)=(x+y+z,;x+2y-2z),
e pede o núcleo ( ker(T)) e a imagem ( Im(T)). Para isso vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de vetores que vão em (0,0) e a imagem como o subespaço gerado pelas colunas da matriz associada.

Passo 2

Para achar
isto é o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
Substituindo em (x+y+z=0] vem

Passo 3

Como z é parâmetro livre, escrevemos
(x,y,z)=(-4z,3z,z)=zcdot(-4,3,1)
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ker(T)=,(-4z,3z,z)mid zinR =Span(-4,3,1)

Passo 4

Para a imagem, note que a matriz de T em relação às bases canônicas é
A= 1 & 1 & 1 1 & 2 & -2 ,
cujas colunas são v1=(1,1), v2=(1,2) e v3=(1,-2). Verificamos que
v3=4,v1-3,v2,
então v1 e v2 formam base do espaço coluna. Como são dois vetores linearmente independentes em R^2, a imagem é todo R^2.

Resposta

ker(T) = Span(-4,3,1), Im(T) = Span(1,1),(1,2) = R^2

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