Determine o núcleo e a imagem das transformações lineares a seguir. definida por
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede o núcleo () e a imagem (). Para isso vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de vetores que vão em e a imagem como o subespaço gerado pelas colunas da matriz associada.
Passo 2
Para achar
isto é o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
Substituindo em (x+y+z=0] vem
Passo 3
Como é parâmetro livre, escrevemos
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Passo 4
Para a imagem, note que a matriz de em relação às bases canônicas é
cujas colunas são v1=(1,1), v2=(1,2) e v3=(1,-2). Verificamos que
v3=4,v1-3,v2,
então v1 e v2 formam base do espaço coluna. Como são dois vetores linearmente independentes em R^2, a imagem é todo R^2.