Determine as coordenadas do vetor v=[rr2 & 5 -8 & 7] in M2 times 2(R), em relação às seguintes bases de M2 times 2(R).
C=[ll1 & 0 0 & 0],[ll0 & 1 0 & 0],[ll0 & 0 1 & 0],[ll0 & 0 0 & 1].

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do vetor
v = 2 & 5[-6pt]-8 & 7
no espaço M2times2(R) em relação à base
C = lE11,E12,E21,E22r,
onde
E11 = 1&00&0,; E12 = 0&10&0,; E21 = 0&01&0,; E22 = 0&00&1
O conteúdo aqui é representação de um vetor numa base, ou seja, escrever v como combinação linear desses Eij.]

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c,dinR tais que
v = a,E11 + b,E12 + c,E21 + d,E22
Isso significa
2 & 5[-3pt]-8 & 7 = a1&00&0 + b0&10&0 + c0&01&0 + d0&00&1
]

Passo 3

Somando as matrizes da direita obtemos
a & b[-3pt]c & d = 2 & 5[-3pt]-8 & 7
Comparando entrada a entrada temos o sistema
a=2, b=5, c=-8, d=7
]

Passo 4

Os coeficientes (a,b,c,d) são exatamente as coordenadas de v na base C. Logo, a representação de v em relação a C é o vetor coluna
l[vr]C = 2[-3pt]5[-3pt]-8[-3pt]7
]

Resposta

[v]C = (2,,5,,-8,,7)^T

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