Seja beta=1-x, x-x^2, 2+x^2 uma base de P2(R).
Mostre que beta é uma base de P2(R).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
beta = ,1 - x,;x - x^2,;2 + x^2
no espaço vetorial P2(R), que tem dimensão 3. Para mostrar que beta é base, basta provar que seus três vetores são linearmente independentes (já que um subconjunto de 3 vetores em um espaço de dimensão 3 forma base exatamente quando é L.I.).

Passo 2

Suponha que exista combinação linear homogênea nula:
alpha,(1 - x);+;beta,(x - x^2);+;gamma,(2 + x^2);=;0,
isto é, o polinômio à esquerda é o polinômio zero. Vamos expandir e agrupar termos em 1, x e x^2.

Passo 3

Expandindo,
alpha - alpha x ;+;beta x - beta x^2 ;+;2gamma + gamma x^2 ;=;(alpha + 2gamma) ;+;(-alpha + beta),x ;+;(-beta + gamma),x^2
Como isso deve ser o polinômio zero, igualamos coeficientes:
alpha + 2gamma = 0, -alpha + beta = 0, -beta + gamma = 0

Passo 4

Do segundo: beta = alpha. Do terceiro: gamma = beta = alpha. Substituindo na primeira:
alpha + 2alpha = 3alpha = 0 ;Longrightarrow;alpha = 0
E daí beta=0 e gamma=0. Logo só existe a solução trivial, o que prova que os três polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Como beta tem 3 vetores L.I. em um espaço de dimensão 3, concluímos que beta é uma base de P2(R).

Resposta

beta é base de P2(R).

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