Seja beta=1-x, x-x^2, 2+x^2 uma base de P2(R).
Encontre as coordenadas de p(x)=7-x+2 x^2 em relação à base beta.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de p(x)=7 - x + 2x^2 em relação à base
beta = ,1 - x,;x - x^2,;2 + x^2 de P2(R). Para isso, vamos escrever p(x) como combinação linear dos vetores de beta e determinar os coeficientes.

Passo 2

Suponha que existam escalares c1,c2,c3 tais que
p(x) = c1(1 - x) ;+; c2(x - x^2) ;+; c3(2 + x^2)

Passo 3

Expanda a combinação linear e agrupe os termos em potências de x:
c1(1 - x) = c1 - c1x, c2(x - x^2) = c2x - c2x^2, c3(2 + x^2) = 2c3 + c3x^2
Somando tudo:
p(x) = (c1 + 2c3) +(-c1 + c2),x +(-c2 + c3),x^2
Como p(x)=7 - x + 2x^2, igualamos coeficientes:
c1 + 2c3 = 7, -,c1 + c2 = -1, -,c2 + c3 = 2

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação, c2 = c1 - 1.
  2. Da terceira, c3 = 2 + c2 = 2 + (c1 - 1) = c1 + 1.
  3. Substituindo em c1 + 2c3 = 7:
c1 + 2(c1 + 1) =7 Longrightarrow 3c1 + 2 =7 Longrightarrow c1 = tfrac53
Logo,
c2 = tfrac53 - 1 = tfrac23, c3 = tfrac53 + 1 = tfrac83

Resposta

As coordenadas de p(x) em relação à base beta são
l[p(x)r]beta = l(tfrac53,,tfrac23,,tfrac83r)

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