Exercício 22:
Mostre que:
.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos mostrar que a soma sumk=1^n k,l(tfrac12r)^k-1 é igual a 4-tfracn+22^n-1. Isso envolve séries geométricas ponderadas e a técnica de derivação de uma PG.

Passo 2

Recordando: a soma dos termos de uma PG de razão r de k=0 a n é dada por
sumk=0^nr^k = 1-r^n+11-r

Passo 3

Para trazer o fator k para a soma, a gente diferencia ambos os lados em relação a r. No lado esquerdo temos
sumk=1^nk,r^k-1 = 1 - (n+1)r^n + n,r^n+1(1-r)^2
e no direito aplicamos a regra do quociente. O resultado geral é

Passo 4

Agora é só escolher r=tfrac12 nessa expressão. No numerador temos
1 - (n+1)l(tfrac12r)^n + nl(tfrac12r)^n+1 = 1 - n+12^n + n2^n+1 = 1 - n+22^n+1
E no denominador
(1-tfrac12)^2 = l(tfrac12r)^2 = tfrac14

Passo 5

Multiplicando numerador por 1/(1-r)^2=4 dada a divisão por tfrac14, a soma fica
4l(1 - tfracn+22^n+1r) = 4 - n+22^n-1,
exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

4-n+22^n-1

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