Mostre que as seguintes premissas são inconsistentes.
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as três fórmulas abaixo, consideradas como premissas, geram uma contradição (são inconsistentes). O conteúdo é dedução natural em lógica proposicional e vamos usar as regras de eliminação de conjunção (∧E) e de eliminação de implicação (→E).
Passo 2
Anotemos as premissas em bloco:
Agora fazemos a eliminação de conjunção na premissa 3. Da premissa 3, por ∧E, obtemos:
Passo 3
Aplicamos eliminação de implicação nas premissas 1 e 2 usando os resultados de 4 e 5:
Passo 4
Da conjunção obtida em 7, por ∧E extraímos as duas partes:
Em seguida, com 6 e 8, por →E, derivamos r:
Passo 5
Agora temos r (linha 10) e ¬r (linha 9) simultaneamente. Isso é uma contradição, logo as premissas são inconsistentes.
Resposta
As premissas conduzem a uma contradição (r e ¬r), portanto são inconsistentes.