Determine as coordenadas do vetor v=(1,2) na base canônica, na base alpha=(1,1),(1,0) do R^2, na base beta=(3,5),(-2,1), e na base varphi=(0,1),(1,0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas do vetor v=(1,2) em quatro bases diferentes: a base canônica, a base alpha=(1,1),(1,0), a base beta=(3,5),(-2,1) e a base varphi=(0,1),(1,0). O conteúdo envolvido é decompor v como combinação linear dos vetores de cada base, o que leva a resolver sistemas lineares simples.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), as coordenadas de v=(1,2) são justamente seus componentes:
v = 1,(1,0) + 2,(0,1),
portanto as coordenadas são (1,2).

Passo 3

Na base alpha=(1,1),(1,0) escrevemos
v = a,(1,1) + b,(1,0),
o que gera o sistema
a + b = 1, a = 2
Da segunda equação vem a=2 e, na primeira, 2 + b = 1 leva a b=-1.
Logo as coordenadas de v em alpha são (2,-1).

Passo 4

Na base beta=(3,5),(-2,1) escrevemos
v = c,(3,5) + d,(-2,1),
isto é o sistema
3c -2d = 1, 5c + d = 2
Da segunda equação d=2-5c. Substituindo na primeira:
3c -2(2-5c)=1 ;Rightarrow;3c -4 +10c=1 ;Rightarrow;13c=5 ;Rightarrow;c=tfrac513,
então
d = 2 - 5cdottfrac513 = tfrac113
As coordenadas em beta são l(tfrac513,tfrac113r).

Passo 5

Na base varphi=(0,1),(1,0) note que
alpha,(0,1) + beta,(1,0) = (beta,alpha)
Queremos (beta,alpha)=(1,2), logo beta=1 e alpha=2.
Assim as coordenadas de v em varphi são (2,1), respeitando a ordem dos vetores de varphi.

Resposta

Em cada base, as coordenadas de v=(1,2) são:
  • Base canônica: (1,2)
  • Base alpha: (2,-1)
  • Base beta: l(tfrac513,tfrac113r)
  • Base varphi: (2,1)

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