Vorifique que
é um subespaço de
, encontre uma base e determine a dimensão desse subespaço.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para (i) verificar que
é subespaço de
, (ii) encontrar uma base de
e (iii) determinar
. Vamos usar a teoria de subespaços (fechamento sob soma e multiplicação escalar, conter o vetor zero) e resolver a equação linear que define
para parametrizar seus vetores.
Passo 2
Para ver que
é subespaço, note que a condição
é equivalente a
ou seja,
é o núcleo do funcional linear
Como todo núcleo de aplicação linear é subespaço, concluímos que
é subespaço de
. Alternativamente, verifica-se que o vetor zero satisfaz a equação e que combinações lineares de soluções também satisfazem.
Passo 3
Agora vamos parametrizar as soluções de
. Isolando
, temos
Logo qualquer vetor de
pode ser escrito como
Tomando os parâmetros livres
, escrevemos
Passo 4
Os três vetores
são linearmente independentes e geram
, pois qualquer elemento de
é combinação linear deles. Portanto,
é uma base de
.
Passo 5
A base tem três vetores, então
Resposta
Uma base de
é
e
.