Vorifique que (x, y, z, w) in R^4 mid x+w=y+2 z é um subespaço de R^4, encontre uma base e determine a dimensão desse subespaço.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,y,z,w)inR^4 mid x + w = y + 2z
e pede para (i) verificar que S é subespaço de R^4, (ii) encontrar uma base de S e (iii) determinar dim S. Vamos usar a teoria de subespaços (fechamento sob soma e multiplicação escalar, conter o vetor zero) e resolver a equação linear que define S para parametrizar seus vetores.

Passo 2

Para ver que S é subespaço, note que a condição x+w=y+2z é equivalente a
x - y - 2z + w = 0,
ou seja, S é o núcleo do funcional linear
f:R^4toR, f(x,y,z,w)=x - y -2z + w
Como todo núcleo de aplicação linear é subespaço, concluímos que S é subespaço de R^4. Alternativamente, verifica-se que o vetor zero satisfaz a equação e que combinações lineares de soluções também satisfazem.

Passo 3

Agora vamos parametrizar as soluções de x - y - 2z + w = 0. Isolando x, temos
x = y + 2z - w
Logo qualquer vetor de S pode ser escrito como
(x,y,z,w) = (,y+2z - w,,,y,,z,,w)
Tomando os parâmetros livres y,z,winR, escrevemos
(x,y,z,w) = y,(1,1,0,0) ;+; z,(2,0,1,0) ;+; w,(-1,0,0,1)

Passo 4

Os três vetores
v1=(1,1,0,0), v2=(2,0,1,0), v3=(-1,0,0,1)
são linearmente independentes e geram S, pois qualquer elemento de S é combinação linear deles. Portanto, v1,v2,v3 é uma base de S.

Passo 5

A base tem três vetores, então
dim S = 3

Resposta

Uma base de S é
(1,1,0,0),;(2,0,1,0),;(-1,0,0,1),
e dim S = 3.

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