Mostre que beta=(l1 2 3),(c-2 1 0),((l1 0 1)) é uma base do R^3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
beta = gl123,,-210,,101gr
é uma base de R^3. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais, em particular a caracterização de base por independência linear e geração em R^3.

Passo 2

Lembrando que um conjunto de três vetores em R^3 é base se, e somente se, eles forem linearmente independentes (nesse caso, geram automaticamente R^3). Portanto, basta verificar que os vetores de beta são linearmente independentes.

Passo 3

Para testar independência linear podemos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular seu determinante. Se detneq0, então os vetores são linearmente independentes.
A matriz formada é
A = 1 & -2 & 1 2 & 1 & 0 3 & 0 & 1
Calculamos o determinante por regra de Sarrus ou expansão de cofatores.

Passo 4

Pela regra de Sarrus,
det(A) =1cdot1cdot1 +(-2)cdot0cdot3 +1cdot2cdot0 ;-;l(3cdot1cdot1 +1cdot0cdot1 +0cdot2cdot(-2)r) =1+0+0 - (3+0+0) =-2,
ou seja det(A)=-2neq0. Logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos três vetores independentes em R^3, eles formam uma base do espaço. Portanto, beta satisfaz as condições de base.

Resposta

beta é base de R^3.

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