Exercícios verdadeiro/falso
Nas partes (a)-(k), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Dois vetores equivalentes sempre têm o mesmo ponto inicial.
(b) Os vetores
e
são equivalentes.
(c) Se
for um escalar e
, um vetor, então
e
são paralelos se, e só se,
.
(d) Os vetores
são iguais.
(e)
, então
.
(f) Se
e
forem escalares tais que
, então u e
são vetores paralelos.
(g) Vetores colineares de mesmo tamanho são iguais.
(h)
, então
necessariamente é o vetor nulo.
(i) Se
e
forem escalares e uev vetores, então
(j) Dados vetores
, a equação vetorial
pode ser resolvida para
.
(k) As combinações lineares
e
só podem ser iguais se
e
.
(a) Dois vetores equivalentes sempre têm o mesmo ponto inicial.
(b) Os vetores
(c) Se
(d) Os vetores
(e)
(f) Se
(g) Vetores colineares de mesmo tamanho são iguais.
(h)
(i) Se
(k) As combinações lineares
Passo 1
O enunciado apresenta onze afirmações sobre vetores em espaços vetoriais – envolvendo equivalência de vetores, paralelismo, operações de adição e multiplicação por escalar, solução de equações vetoriais e unicidade de combinação linear. Vamos usar definições e propriedades de espaços vetoriais:
- Vetores equivalentes têm mesma direção e módulo, independentemente do ponto de aplicação.
- Vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro.
- Adição de vetores obedece associatividade, comutatividade e lei de cancelamento.
- Combinações lineares são únicas só se os vetores-feixe forem linearmente independentes.
Passo 2
(a) “Dois vetores equivalentes sempre têm o mesmo ponto inicial.”
Por definição, vetores equivalentes têm mesmo módulo e direção mas podem estar em pontos diferentes. Logo, essa afirmação é falsa: basta deslocar um vetor paralelo a si mesmo sem mudar origem.
Por definição, vetores equivalentes têm mesmo módulo e direção mas podem estar em pontos diferentes. Logo, essa afirmação é falsa: basta deslocar um vetor paralelo a si mesmo sem mudar origem.
Passo 3
(b) “Os vetores
e
são equivalentes.”
Eles vivem em espaços de dimensões diferentes ( e
), logo não faz sentido compará-los como vetores equivalentes no mesmo espaço. A afirmação é falsa.
Eles vivem em espaços de dimensões diferentes (
Passo 4
(c) “Se
for um escalar e
um vetor, então
e
são paralelos se, e só se,
.”
Na verdade, para qualquer ,
é paralelo a
, mesmo que
(aponta no sentido oposto). E por convenção o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor. Logo, a afirmação é falsa.
Na verdade, para qualquer
Passo 5
(d) “Os vetores
e
são iguais.”
Pela comutatividade e associatividade da adição,
Pela comutatividade e associatividade da adição,
Logo é verdadeira.
(e) “Se , então
.”
Basta acrescentar o inverso aditivo de em ambos os lados (lei de cancelamento), resultando em
. Também verdadeira.
(h) “Se , então
necessariamente é o vetor nulo.”
Aplicando cancelamento de vem
. Verdadeira.
(e) “Se
Basta acrescentar o inverso aditivo de
(h) “Se
Aplicando cancelamento de
Passo 6
(f) “Se
e
forem escalares tais que
, então
e
são vetores paralelos.”
Se qualquer
satisfazem
, mesmo que não sejam paralelos. Logo a afirmação é falsa.
Se
Passo 7
(g) “Vetores colineares de mesmo tamanho são iguais.”
Eles podem ter direções opostas: por exemplo e
são colineares e têm mesmo módulo, mas não são iguais. Falsa.
Eles podem ter direções opostas: por exemplo
Passo 8
(i) “Se
e
forem escalares e
vetores, então
”
Expandindo o lado esquerdo,
Expandindo o lado esquerdo,
que não coincide em geral com
. Logo é falsa.
Passo 9
(j) “Dados vetores
e
, a equação
pode ser resolvida para
.”
Resolvendo,
Resolvendo,
há solução única. Verdadeira.
Passo 10
(k) “As combinações lineares
e
só podem ser iguais se
e
.”
Isso só vale quando são linearmente independentes. Em geral, se forem dependentes, há múltiplas representações. Falsa.
Isso só vale quando
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(e) Verdadeira
(f) Falsa
(g) Falsa
(h) Verdadeira
(i) Falsa
(j) Verdadeira
(k) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(e) Verdadeira
(f) Falsa
(g) Falsa
(h) Verdadeira
(i) Falsa
(j) Verdadeira
(k) Falsa