Exercícios verdadeiro/falso

Nas partes (a)-(k), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Dois vetores equivalentes sempre têm o mesmo ponto inicial.
(b) Os vetores (a, b) e (a, b, 0) são equivalentes.
(c) Se k for um escalar e v, um vetor, então v e k v são paralelos se, e só se, k >= 0.
(d) Os vetores v+(u+w) e(w+v)+u são iguais.
(e) Se u+v=u+w, então v=w.
(f) Se a e b forem escalares tais que a u+b v=0, então u e v são vetores paralelos.
(g) Vetores colineares de mesmo tamanho são iguais.
(h) Se(a, b, c)+(x, y, z)=(x, y, z), então (a, b, c) necessariamente é o vetor nulo.
(i) Se a e b forem escalares e uev vetores, então
(a+b)(u+v)=a u+b v
(j) Dados vetores v e w, a equação vetorial
3(2 v-x)=5 x-4 w+v
pode ser resolvida para x.
(k) As combinações lineares a1 v1+a2 v2 e b1 v1+b2 v2 só podem ser iguais se a1=b1 e a2=b2.

Passo 1

O enunciado apresenta onze afirmações sobre vetores em espaços vetoriais – envolvendo equivalência de vetores, paralelismo, operações de adição e multiplicação por escalar, solução de equações vetoriais e unicidade de combinação linear. Vamos usar definições e propriedades de espaços vetoriais:
  1. Vetores equivalentes têm mesma direção e módulo, independentemente do ponto de aplicação.
  2. Vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro.
  3. Adição de vetores obedece associatividade, comutatividade e lei de cancelamento.
  4. Combinações lineares são únicas só se os vetores-feixe forem linearmente independentes.

Passo 2

(a) “Dois vetores equivalentes sempre têm o mesmo ponto inicial.”
Por definição, vetores equivalentes têm mesmo módulo e direção mas podem estar em pontos diferentes. Logo, essa afirmação é falsa: basta deslocar um vetor paralelo a si mesmo sem mudar origem.

Passo 3

(b) “Os vetores (a,b) e (a,b,0) são equivalentes.”
Eles vivem em espaços de dimensões diferentes ( R^2 e R^3), logo não faz sentido compará-los como vetores equivalentes no mesmo espaço. A afirmação é falsa.

Passo 4

(c) “Se k for um escalar e v um vetor, então v e kv são paralelos se, e só se, k>= 0.”
Na verdade, para qualquer kneq0, kv é paralelo a v, mesmo que k<0 (aponta no sentido oposto). E por convenção o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 5

(d) “Os vetores v+(u+w) e (w+v)+u são iguais.”
Pela comutatividade e associatividade da adição,
v+(u+w) =(v+u)+w =(u+v)+w =(w+v)+u
Logo é verdadeira.
(e) “Se u+v=u+w, então v=w.”
Basta acrescentar o inverso aditivo de u em ambos os lados (lei de cancelamento), resultando em v=w. Também verdadeira.
(h) “Se (a,b,c)+(x,y,z)=(x,y,z), então (a,b,c) necessariamente é o vetor nulo.”
Aplicando cancelamento de (x,y,z) vem (a,b,c)=0. Verdadeira.

Passo 6

(f) “Se a e b forem escalares tais que au+bv=0, então u e v são vetores paralelos.”
Se a=b=0 qualquer u,v satisfazem 0cdotu+0cdotv=0, mesmo que não sejam paralelos. Logo a afirmação é falsa.

Passo 7

(g) “Vetores colineares de mesmo tamanho são iguais.”
Eles podem ter direções opostas: por exemplo v=(1,0) e -v=(-1,0) são colineares e têm mesmo módulo, mas não são iguais. Falsa.

Passo 8

(i) “Se a e b forem escalares e u,v vetores, então
(a+b)(u+v)=au+bv

Expandindo o lado esquerdo,
(a+b)(u+v) =au+av+bu+bv,
que não coincide em geral com au+bv. Logo é falsa.

Passo 9

(j) “Dados vetores v e w, a equação
3(2v-x)=5x-4w+v
pode ser resolvida para x.”
Resolvendo,
6v-3x=5x-4w+v ;Longrightarrow;-8x=-4w-5v ;Longrightarrow;x=tfrac12w+tfrac58v,
há solução única. Verdadeira.

Passo 10

(k) “As combinações lineares a1v1+a2v2 e b1v1+b2v2 só podem ser iguais se a1=b1 e a2=b2.”
Isso só vale quando v1,v2 são linearmente independentes. Em geral, se forem dependentes, há múltiplas representações. Falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(e) Verdadeira
(f) Falsa
(g) Falsa
(h) Verdadeira
(i) Falsa
(j) Verdadeira
(k) Falsa

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