Determine as coordenadas do vetor vecw=(2,1,0) em relação à base B=v1, v2, v3, onde:
v1=(1,1,1), v2=(1,1,-1), v3=(1,-1,1).

Passo 1

O problema pede as coordenadas do vetor w=(2,1,0) em relação à base B=v1,v2,v3, onde
v1=(1,1,1), v2=(1,1,-1) e v3=(1,-1,1).
O conteúdo envolvido é a representação de um vetor por combinação linear em uma base em R^3.

Passo 2

Escrevemos que existe (c1,c2,c3) tal que
c1v1+c2v2+c3v3=w

Passo 3

Traduzindo em coordenadas, obtemos o sistema
c1+c2+c3=2,
c1+c2-c3=1,
c1-c2+c3=0

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira, fica
2c3=1
e portanto
c3=tfrac12

Passo 5

Com c3=tfrac12, soma da primeira e da segunda equações dá
c1+c2=tfrac32,
e a terceira equação dá
c1-c2=-tfrac12

Passo 6

Somando as duas últimas equações resulta
2c1=1
logo
c1=tfrac12
Substituindo em c1+c2=tfrac32 achamos
c2=1

Resposta

As coordenadas de w na base B são
(tfrac12,,1,,tfrac12)

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