Determine as coordenadas dos vetores \left[v_{i}\right]_{\beta} em relação às bases \beta_{i}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} dadas, em cada caso: v_{1}=(3,4,-2), em relação à base canônica \beta_{1}=\{\vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k}\}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \left[v_{1}\right]_{\beta_{1}} em relação à base \beta_{1}=\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}.
As informações dadas são: o vetor \\ v_{1}=(3,4,-2) e a base canônica \beta_{1}=\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}, onde \vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1).
Passo 2
O que significa “coordenadas de um vetor em relação a uma base”?
Significa encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma tais que o vetor seja a combinação linear dessas direções da base:
Aqui \alpha,\beta,\gamma são exatamente as coordenadas de v_{1} na base \beta_{1}; ou seja \left[v_{1}\right]_{\beta_{1}}=(\alpha,\beta,\gamma). Essa representação é única porque \{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\} é uma base.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear com as componentes conhecidas: