Determine as coordenadas dos vetores \left[v_{i}\right]_{\beta} em relação às bases \beta_{i}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} dadas, em cada caso:
v_{1}=(3,4,-2), em relação à base canônica \beta_{1}=\{\vec{i} ; \vec{j} ; \vec{k}\}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \left[v_{1}\right]_{\beta_{1}} em relação à base \beta_{1}=\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}.
As informações dadas são: o vetor \\ v_{1}=(3,4,-2) e a base canônica \beta_{1}=\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}, onde \vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1).

Passo 2

O que significa “coordenadas de um vetor em relação a uma base”?
Significa encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma tais que o vetor seja a combinação linear dessas direções da base:
v_{1}=\alpha\,\vec{i}+\beta\,\vec{j}+\gamma\,\vec{k}.
Aqui \alpha,\beta,\gamma são exatamente as coordenadas de v_{1} na base \beta_{1}; ou seja \left[v_{1}\right]_{\beta_{1}}=(\alpha,\beta,\gamma). Essa representação é única porque \{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\} é uma base.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear com as componentes conhecidas:
\alpha\,\vec{i}+\beta\,\vec{j}+\gamma\,\vec{k} =\alpha(1,0,0)+\beta(0,1,0)+\gamma(0,0,1)=(\alpha,\beta,\gamma).
Queremos que isso seja igual a v_{1}=(3,4,-2). Igualando componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha=3,\\[4pt] \beta=4,\\[4pt] \gamma=-2. \end{cases}]

Passo 4

Concluímos que as coordenadas de v_{1} na base canônica \beta_{1} são exatamente os seus componentes padrão: \alpha=3, \beta=4, \gamma=-2. Portanto
\left[v_{1}\right]_{\beta_{1}}=(3,4,-2).

Resposta

\left[v_{1}\right]_{\beta_{1}}=(3,4,-2)

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