Determine as coordenadas dos vetores \left[v_{i}\right]_{\beta} em relação às bases \beta_{i}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} dadas, em cada caso:
v_{2}=(-1,1,5), em relação à base \beta_{2}=\{(1,1,-1) ;(0,1,1) ;(1,1,-2)\}.

Passo 1

O que o exercício pede: determinar as coordenadas do vetor \left[v_{2}\right]_{\beta_{2}} de modo que expressa v_{2} em função da base \beta_{2}.
Informações dadas:
v_{2}=(-1,1,5),
\beta_{2}=\{\,b_{1}=(1,1,-1),\; b_{2}=(0,1,1),\; b_{3}=(1,1,-2)\,\}.

Passo 2

O que significa achar as coordenadas de v_{2} na base \beta_{2}: queremos encontrar escalares \,c_{1},c_{2},c_{3}\, tais que
v_{2}=c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}.
Aqui cada c_{i} é uma componente da coordenada de v_{2} na base \beta_{2}. Ou seja,
\left[v_{2}\right]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}c_{1}\\[4pt]c_{2}\\[4pt]c_{3}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Escrevendo a equação componente a componente: usando as coordenadas dos vetores dados, temos
c_{1}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} + c_{2}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} + c_{3}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema linear cuja forma matricial é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_{1}\\[4pt]c_{2}\\[4pt]c_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 4

Vamos resolver o sistema por eliminação de Gauss. Monto a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 1 & -2 & 5 \end{array}\right].
Aplicando operações linha a linha (explico cada uma):
  1. Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}:
R_{2}=(1,1,1,1)-(1,0,1,-1)=(0,1,0,2).
  1. Faço R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}:
R_{3}=(-1,1,-2,5)+(1,0,1,-1)=(0,1,-1,4).
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 4 \end{array}\right].
  1. Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}:
R_{3}=(0,1,-1,4)-(0,1,0,2)=(0,0,-1,2).
A matriz triangular resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora leio as equações finais da matriz:
\begin{cases} -1\cdot c_{3}=2,\\[4pt] c_{2}=2,\\[4pt] c_{1}+c_{3}=-1. \end{cases}
Da primeira equação vem
c_{3}=-2.
Da segunda,
c_{2}=2.
Substituindo c_{3} na terceira:
c_{1}+(-2)=-1\quad\Rightarrow\quad c_{1}=1.]

Passo 6

Verificação (importante para ganhar confiança): calculo c_{1}b_{1}+c_{2}b_{2}+c_{3}b_{3}
1\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} + (-2)\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+0-2\\[4pt]1+2-2\\[4pt]-1+2+4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]5\end{pmatrix},
que é exatamente v_{2}. Beleza — está correto.]

Resposta

\left[v_{2}\right]_{\beta_{2}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

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