- Sendo
e dado um conjunto de elementos de
,
.
(a) Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
(b) Determine
.
(c) O conjunto
é uma base de
? E de
? Justifique exibindo se
é um gerador de
.
(d) Qual a
?
(a) Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
(b) Determine
(c) O conjunto
(d) Qual a
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
(polinômios com grau menor ou igual a
) e o conjunto
As perguntas são:
(a) Verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).
(b) Determinar (ou seja,
).
(c) Perguntar se é uma base de
e se é uma base de
. Pedem justificativa, exibindo se
gera
.
(d) Determinar .
(a) Verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).
(b) Determinar
(c) Perguntar se
(d) Determinar
Observação: vou assumir que
designa exatamente o conjunto dado (os três polinômios). Não resolvo nada aqui — só organizei o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever cada polinômio em coordenadas na base padrão
de
. Isso facilita comparar coeficientes e trabalhar com combinações lineares. Para um polinômio
a correspondência é o vetor de coeficientes
se quisermos ordenar como termo constante, termo em
e termo em
. Escrevendo cada
:
Essas representações vão nos ajudar para checar dependência, geradores e dimensão.
Passo 3
Definição prática de linear (in)dependência que vou usar: vetores
são linearmente dependentes se existem escalares não todos nulos
tais que
(o polinômio zero). Caso contrário são linearmente independentes. Em polinômios, isso significa que os coeficientes de
,
e
da combinação devem ser todos zero — gera um sistema linear em
.
Antes de montar o sistema geral, observo se há relações aparentes entre os polinômios dados: calculemos
vezes
:
Esse resultado é exatamente
. Portanto
Isso já fornece uma combinação linear não trivial:
Como os coeficientes
e
não são ambos zero, concluímos que os três vetores são linearmente dependentes.
Passo 4
Concluindo a resposta da parte (a): o conjunto
é linearmente dependente (L.D.), porque
dá uma relação linear não trivial.
Agora, como
é múltiplo de
, ele não acrescenta nova direção ao span. Assim o subespaço gerado pelos três vetores é igual ao gerado por
e
:
Passo 5
Vamos escrever explicitamente um elemento genérico de
como combinação linear de
e
. Tome
e considere
Desenvolvendo e agrupando coeficientes por potências de
,
Portanto
Em coordenadas
com
termo constante,
coeficiente de
,
coeficiente de
, os vetores de
têm a forma
Isto mostra concretamente quais polinômios estão em
e confirma que
é um subespaço de dimensão no máximo
.
Passo 6
Precisamos agora checar se
e
são linearmente independentes (isso decide a dimensão de
). Use a definição: suponha existirem
tais que
Escrevendo pelos coeficientes (equivalente a igualar coeficientes de
):
coeficiente de :
coeficiente de :
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
coeficiente de
coeficiente de
Da primeira equação
Então
e
. Logo a única combinação que dá o polinômio zero é a combinação trivial; portanto
e
são linearmente independentes.
Assim
é um conjunto independente que gera
, ou seja, é uma base de
.
Passo 7
Agora as conclusões pedidas:
- (a) já respondido:
é linearmente dependente porque . - (b)
e explicitamente
- (c)
não é uma base de porque tem dimensão e uma base de precisa ter 3 vetores linearmente independentes; tem 3 vetores mas é linearmente dependente. também não é uma base de porque, embora gere (por definição ), não é independente; porém a subcoleção é uma base de . - (d) Como
é uma base de , temos .
Resposta
(a)
é linearmente dependente (L.D.), pois
.
(b)
(c) não é base de
(não é L.I.).
não é base de
(gera
mas é L.D.); entretanto
é uma base de
(gera
e é L.I.).
(d) .
(b)
(c)
(d)