1. Sendo V=P_{2} e dado um conjunto de elementos de V, \left\{x^{2}-2 x-3 ; x^{2}+x-1 ;-2 x^{2}+4 x+6\right\}.
    (a) Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
    (b) Determine W=\left[v_{1} ; v_{2} ; v_{3}\right].
    (c) O conjunto \beta é uma base de V ? E de W ? Justifique exibindo se \beta é um gerador de W.
    (d) Qual a \operatorname{dim}(W) ?

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=P_{2} (polinômios com grau menor ou igual a 2) e o conjunto
\beta=\{\,x^{2}-2x-3,\;x^{2}+x-1,\;-2x^{2}+4x+6\,\}.
As perguntas são:
(a) Verificar se o conjunto é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).
(b) Determinar W=[v_{1};v_{2};v_{3}] (ou seja, W=\operatorname{span}(\beta)).
(c) Perguntar se \beta é uma base de V e se é uma base de W. Pedem justificativa, exibindo se \beta gera W.
(d) Determinar \dim(W).
Observação: vou assumir que \beta designa exatamente o conjunto dado (os três polinômios). Não resolvo nada aqui — só organizei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever cada polinômio em coordenadas na base padrão \{1,x,x^{2}\} de P_{2}. Isso facilita comparar coeficientes e trabalhar com combinações lineares. Para um polinômio ax^{2}+bx+c a correspondência é o vetor de coeficientes (c,b,a) se quisermos ordenar como termo constante, termo em x e termo em x^{2}. Escrevendo cada v_i:
v_{1}=x^{2}-2x-3 tem coeficientes:
v_{1}\longleftrightarrow (-3,\,-2,\,1).
v_{2}=x^{2}+x-1 tem coeficientes:
v_{2}\longleftrightarrow (-1,\,1,\,1).
v_{3}=-2x^{2}+4x+6 tem coeficientes:
v_{3}\longleftrightarrow (6,\,4,\,-2).
Essas representações vão nos ajudar para checar dependência, geradores e dimensão.

Passo 3

Definição prática de linear (in)dependência que vou usar: vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente dependentes se existem escalares não todos nulos c_{1},c_{2},c_{3} tais que
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=0
(o polinômio zero). Caso contrário são linearmente independentes. Em polinômios, isso significa que os coeficientes de 1, x e x^{2} da combinação devem ser todos zero — gera um sistema linear em c_{1},c_{2},c_{3}.
Antes de montar o sistema geral, observo se há relações aparentes entre os polinômios dados: calculemos -2 vezes v_{1}:
-2\cdot v_{1}=-2\cdot(x^{2}-2x-3)=-2x^{2}+4x+6.
Esse resultado é exatamente v_{3}. Portanto
v_{3}=-2v_{1}.
Isso já fornece uma combinação linear não trivial:
2v_{1}+0\cdot v_{2}+1\cdot v_{3}=2v_{1}+v_{3}=0.
Como os coeficientes 2 e 1 não são ambos zero, concluímos que os três vetores são linearmente dependentes.

Passo 4

Concluindo a resposta da parte (a): o conjunto \beta é linearmente dependente (L.D.), porque v_{3}=-2v_{1} dá uma relação linear não trivial.
Agora, como v_{3} é múltiplo de v_{1}, ele não acrescenta nova direção ao span. Assim o subespaço gerado pelos três vetores é igual ao gerado por v_{1} e v_{2}:
W=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.

Passo 5

Vamos escrever explicitamente um elemento genérico de W como combinação linear de v_{1} e v_{2}. Tome a,b\in\mathbb{R} e considere
p(x)=a v_{1}+b v_{2}=a(x^{2}-2x-3)+b(x^{2}+x-1).
Desenvolvendo e agrupando coeficientes por potências de x,
p(x)=(a+b)x^{2}+(-2a+b)x+(-3a-b).
Portanto
W=\{(a+b)x^{2}+(-2a+b)x+(-3a-b)\;|\;a,b\in\mathbb{R}\}.
Em coordenadas (c_{0},c_{1},c_{2}) com c_{0} termo constante, c_{1} coeficiente de x, c_{2} coeficiente de x^{2}, os vetores de W têm a forma
(c_{0},c_{1},c_{2})=(-3a-b,\;-2a+b,\;a+b).
Isto mostra concretamente quais polinômios estão em W e confirma que W é um subespaço de dimensão no máximo 2.

Passo 6

Precisamos agora checar se v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (isso decide a dimensão de W). Use a definição: suponha existirem s,t\in\mathbb{R} tais que
s v_{1}+t v_{2}=0.
Escrevendo pelos coeficientes (equivalente a igualar coeficientes de x^{2},x,1):
coeficiente de x^{2}: s\cdot 1 + t\cdot 1 =0 \Rightarrow s+t=0.
coeficiente de x: s\cdot(-2)+t\cdot 1=0 \Rightarrow -2s+t=0.
Da primeira equação s=-t. Substituindo na segunda:
-2(-t)+t=2t+t=3t=0 \Rightarrow t=0.
Então t=0 e s=0. Logo a única combinação que dá o polinômio zero é a combinação trivial; portanto v_{1} e v_{2} são linearmente independentes.
Assim \{v_{1},v_{2}\} é um conjunto independente que gera W, ou seja, é uma base de W.

Passo 7

Agora as conclusões pedidas:
  • (a) já respondido: \beta é linearmente dependente porque v_{3}=-2v_{1}.
  • (b) W=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\} e explicitamente
W=\{(a+b)x^{2}+(-2a+b)x+(-3a-b)\;|\;a,b\in\mathbb{R}\}.
  • (c) \beta não é uma base de V porque V=P_{2} tem dimensão 3 e uma base de V precisa ter 3 vetores linearmente independentes; \beta tem 3 vetores mas é linearmente dependente. \beta também não é uma base de W porque, embora gere W (por definição W=\operatorname{span}(\beta)), \beta não é independente; porém a subcoleção \{v_{1},v_{2}\} é uma base de W.
  • (d) Como \{v_{1},v_{2}\} é uma base de W, temos \dim(W)=2.

Resposta

(a) \beta é linearmente dependente (L.D.), pois v_{3}=-2v_{1}.
(b) W=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}=\{(a+b)x^{2}+(-2a+b)x+(-3a-b)\mid a,b\in\mathbb{R}\}.
(c) \beta não é base de V (não é L.I.). \beta não é base de W (gera W mas é L.D.); entretanto \{v_{1},v_{2}\} é uma base de W (gera W e é L.I.).
(d) \dim(W)=2.

Exercícios relacionados