Determine o corpo de frações de Z[raiz2].

Passo 1

Vamos resumir: o objetivo é achar o corpo de frações de Z[raiz2]. Esse conteúdo pertence à construção de corpos de frações de domínios integrais e envolve manipular frações em um anel que contém raiz2.

Passo 2

Sabendo que Z[raiz2] é um domínio integral, seu corpo de frações é formado por elementos da forma pq com p,qinZ[raiz2] e qneq0. Aqui podemos escrever
a,b,c,dinZ
c + draiz2neq0
com e .

Passo 3

Para expressar cada fração de modo mais simples, racionalizamos o denominador. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de q, isto é c - draiz2:
a + braiz2c + draiz2 ;=; (a + braiz2)(c - draiz2)(c + draiz2)(c - draiz2)

Passo 4

Calculamos primeiro o denominador:
(c + draiz2)(c - draiz2) = c^2 - 2d^2 in Zsetminus0
E o numerador fica
(a + braiz2)(c - draiz2) = (ac - 2bd) + (bc - ad)raiz2

Passo 5

Então cada fração vale
ac - 2bdc^2 - 2d^2 ;+ ; bc - adc^2 - 2d^2raiz2
Como ac - 2bdc^2 - 2d^2 e bc - adc^2 - 2d^2 são números racionais, todo elemento do corpo de frações tem a forma x + yraiz2 com x,yinQ.

Passo 6

Portanto o corpo de frações de Z[raiz2] é exatamente o corpo
Q(raiz2) = x + yraiz2: x,yinQ.

Resposta

Q(raiz2) = x + yraiz2: x,yinQ

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