Determine se possível o corpo de frações de Z6. E o de Z7 ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar o corpo de frações de Z6 e de Z7. Vamos precisar da definição de domínio de integridade (ring sem divisores de zero) e da construção de corpo de frações que só vale para domínios de integridade.

Passo 2

Lembrando que para existir corpo de frações o anel deve ser um domínio de integridade, ou seja, não pode haver a,bneq0 tais que acdot b=0.
No anel Z6 temos zero divisores: por exemplo 2neq0, 3neq0 em Z6, mas 2cdot3=6equiv0pmod6. Logo Z6 não é domínio de integridade e NÃO admite corpo de frações.

Passo 3

No anel Z7, como 7 é primo, Z7 é um corpo. Em particular é um domínio de integridade, e sua construção de corpo de frações só acrescentaria frações a/b com bneq0, mas todo bneq0 já tem inverso em Z7.
Portanto o corpo de frações de Z7 é isomorfo a Z7 próprio.

Resposta

Z6 não possui corpo de frações. O corpo de frações de Z7 é o próprio Z7.

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