Mostre que o corpo de frações do domínio Z[i]=a+b i ; a, b in Z é Q[i]=a+b i ; a, b in Q

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o corpo de frações do domínio integral Z[i] é Q[i]. Estamos lidando com inteiros gaussianos e o conceito de corpo de frações de um domínio integral, que usaremos para provar a igualdade.

Passo 2

Definição: o corpo de frações Frac(D) de um domínio integral D é o menor corpo que contém D. Concretamente,
Frac(D)=x/y : x,yin D,;yneq0,
com a identificação usual de frações equivalentes.

Passo 3

Mostramos primeiro que Q[i]subseteq Frac(Z[i]). Seja z=a+biinQ[i] com a= u/v e b=w/v, onde u,w,vinZ e vneq0. Então
z = uv + iwv = u+iwv,
onde u+iwinZ[i] e vinZ[i]setminus0. Logo z está no corpo de frações de Z[i].

Passo 4

Agora mostramos que Frac(Z[i])subseteq Q[i]. Seja x=a+bi e y=c+di em Z[i] com yneq0. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de y, temos
a+bic+di = (a+bi)(c-di)c^2+d^2 = ac+bdc^2+d^2 + ibc-adc^2+d^2
Como a,b,c,dinZ, os coeficientes são racionais, logo a fração pertence a Q[i].

Passo 5

Com as duas inclusões Q[i]subseteq Frac(Z[i]) e Frac(Z[i])subseteq Q[i], concluímos que
Frac(Z[i]) = Q[i]

Resposta

O corpo de frações de Z[i] é Q[i].

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