Mostre que o corpo de frações do domínio
é
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o corpo de frações do domínio integral
é
. Estamos lidando com inteiros gaussianos e o conceito de corpo de frações de um domínio integral, que usaremos para provar a igualdade.
Passo 2
Definição: o corpo de frações
de um domínio integral
é o menor corpo que contém
. Concretamente,
com a identificação usual de frações equivalentes.
Passo 3
Mostramos primeiro que
. Seja
com
e
, onde
e
. Então
onde
e
. Logo
está no corpo de frações de
.
Passo 4
Agora mostramos que
. Seja
e
em
com
. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de
, temos
Como
, os coeficientes são racionais, logo a fração pertence a
.
Passo 5
Com as duas inclusões
e
, concluímos que
Resposta
O corpo de frações de
é
.