Obtenha uma equação geral do plano pi, que contém o eixo dos x e é perpendicular à reta r: X=(0,1,1)+lambda(0,2,1). (sistema ortogonal)

Passo 1

O plano π deve conter o eixo x e ser perpendicular à reta r. O conteúdo aqui é equação geral de plano em ℝ³, e vamos precisar do vetor diretor do eixo x e do vetor diretor da reta para determinar a normal do plano.

Passo 2

O eixo x tem vetor diretor u = (1,0,0). A reta r dada por X = (0,1,1) + λ(0,2,1) tem vetor diretor v = (0,2,1). Como π é perpendicular a r, sua normal n é paralela a v. Podemos então escolher n = (0,2,1).

Passo 3

Precisamos verificar que o eixo x realmente fica contido em π. Para isso, qualquer vetor diretor do plano deve ser ortogonal a n. Vendo que n·u = (0,2,1)·(1,0,0) = 0, temos consistência: o eixo x está no plano.

Passo 4

A equação geral de um plano com normal n = (0,2,1) é 0·x + 2·y + 1·z + D = 0, ou seja, 2y + z + D = 0. Para achar D, usamos um ponto do eixo x, por exemplo o ponto (0,0,0). Substituindo em 2y + z + D = 0, obtemos D = 0.

Resposta

2y + z = 0

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