Seja
. Encontre um polinômio
de grau
tal que
.
Passo 1
O exercício apresenta o polinômio f(X)=\overline{2}X{10}+\overline{3}X{7}+\overline{5}X^{4}+\overline{1} em Z_{7}[X] e pede um g(X) de grau ≤6 tal que f(a)=g(a) para todo a em Z_{7}. Vamos usar teoria de polinômios sobre corpos finitos e o Teorema de Fermat.
Passo 2
Pelo Teorema de Fermat, em Z_{7} vale a^7=a para todo a. Para a≠0 isso implica a^6=1, de modo que qualquer a^k se reduz modulo 6 no expoente. No caso a=0, a^n=0 para n>0, o que é consistente com a redução.
Passo 3
Aplicamos essa redução aos termos de f: como X{10}=X{6+4}=X6·X4≡1·X4=X4 e X7=X6·X≡X, temos em Z_{7}: 2X{10}→2X4, 3X^7→3X e 5X^4 permanece 5X^4. A constante 1 não muda.
Passo 4
Agora somamos termos semelhantes: 2X4+5X4=7X4≡0·X4 em Z_{7}, então todos os X^4 se anulam. Fica f(a)=3X+1 para todo a∈Z_{7}, ou seja, g(X)=3X+1.
Passo 5
Por fim, podemos testar em alguns valores (por exemplo X=0,1,2) para confirmar que f(a)=3a+1 em Z_{7}, garantindo que g(X)=3X+1.