Determine as correntes i_{1}, i_{2}, i_{3} (em Ampères) associada a um circuito (que utilizou as leis das Malhas dos nós-primeira lei de Kirchhoff) gerando o seguinte sistema:
\left\{\begin{array}{c} i_{1}-i_{2}-i_{3}=0 \\\\ 10 i_{1}+20 i_{2}+20 i_{3}=50 \\\\ 20 i_{2}-30 i_{3}=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece um sistema linear que relaciona três correntes e pede para determinar os valores de i_{1}, i_{2}, i_{3}\) (em ampères). As equações dadas são: \[\begin{cases} i_{1}-i_{2}-i_{3}=0,\\[4pt] 10\,i_{1}+20\,i_{2}+20\,i_{3}=50,\\[4pt] 20\,i_{2}-30\,i_{3}=0. \end{cases}
O que precisa ser encontrado é: os valores numéricos de i_{1}\], \(i_{2} e i_{3} que satisfazem simultaneamente essas três equações.]

Passo 2

Escolha do método (curto e eficaz): uma boa estratégia é usar substituição/eliminação. Isso funciona bem porque a primeira equação já dá i_{1} isolado em função de i_{2} e i_{3}, o que facilita substituir em outra equação e reduzir o sistema para duas incógnitas. Não é necessário cálculo matricial pesado aqui.

Passo 3

Isolar i_{1} a partir da primeira equação. Da primeira equação:
i_{1}-i_{2}-i_{3}=0
somando i_{2}+i_{3} em ambos os lados obtemos
i_{1}=i_{2}+i_{3}.
Isto quer dizer que i_{1} é a soma de i_{2} e i_{3}.

Passo 4

Substituir i_{1}=i_{2}+i_{3} na segunda equação para reduzir a quantidade de incógnitas. A segunda equação é
10\,i_{1}+20\,i_{2}+20\,i_{3}=50.
Substituindo i_{1}:
10\,(i_{2}+i_{3})+20\,i_{2}+20\,i_{3}=50.
Agora desenvolver e somar termos semelhantes:
10\,i_{2}+10\,i_{3}+20\,i_{2}+20\,i_{3}=50,
(10+20)\,i_{2}+(10+20)\,i_{3}=50,
30\,i_{2}+30\,i_{3}=50.
Podemos dividir ambos os lados por 30 para simplificar:
i_{2}+i_{3}=\frac{50}{30}=\frac{5}{3}.

Passo 5

Usar a terceira equação para obter outra relação entre i_{2} e i_{3}. A terceira equação é
20\,i_{2}-30\,i_{3}=0.
Podemos simplificar dividindo por 10:
2\,i_{2}-3\,i_{3}=0.
Isolando i_{2}:
2\,i_{2}=3\,i_{3}\quad\Rightarrow\quad i_{2}=\frac{3}{2}\,i_{3}.
Isto é uma relação direta que diz que i_{2} é 1{,}5 vezes i_{3}.

Passo 6

Substituir i_{2}=\dfrac{3}{2}\,i_{3} na relação obtida no Passo 4 ( i_{2}+i_{3}=\dfrac{5}{3}) para encontrar i_{3}. Substituindo:
\frac{3}{2}\,i_{3}+i_{3}=\frac{5}{3}.
Somar os coeficientes do lado esquerdo:
\left(\frac{3}{2}+1\right)i_{3}=\frac{5}{3}.
Calcule \dfrac{3}{2}+1=\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{2}=\dfrac{5}{2}. Assim:
\frac{5}{2}\,i_{3}=\frac{5}{3}.
Para isolar i_{3}, multiplicar ambos os lados por \dfrac{2}{5}:
i_{3}=\frac{5}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{2}{3}.

Passo 7

Com i_{3}=\dfrac{2}{3} A, calcular i_{2} usando i_{2}=\dfrac{3}{2}\,i_{3}:
i_{2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=1.
Portanto i_{2}=1 A.

Passo 8

Calcular i_{1} usando i_{1}=i_{2}+i_{3} (do Passo 3):
i_{1}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}.
Ou seja i_{1}=\dfrac{5}{3} A.

Resposta

\,i_{1}=\dfrac{5}{3}\\ \text{A}
\,i_{2}=1\\ \text{A}
\,i_{3}=\dfrac{2}{3}\\ \text{A}

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