Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor. (Forneça o ângulo diretor com precisão de um grau.)
c) i-2 j-3 k

Passo 1

O enunciado pede os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor vec v = vec i - 2vec j - 3vec k. Para isso, vamos identificar as componentes, calcular o módulo de vec v, depois obter cada cosseno diretor como a componente dividida pelo módulo e, por fim, calcular cada ângulo diretor usando a função arccoseno.

Passo 2

As componentes de vec v são
vec v = (vx,,vy,,vz) = (1,,-2,,-3)
O módulo de vec v é
|vec v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 = raiz1^2 + (-2)^2 + (-3)^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14

Passo 3

Os cossenos diretores cosalpha, cosbeta e cosgamma são dados por
cosalpha = vx|vec v| = 1raiz14, cosbeta = vy|vec v| = -2raiz14, cosgamma = vz|vec v| = -3raiz14

Passo 4

Para obter os ângulos diretores alpha, beta, gamma em graus, usamos
alpha = arccos!l(cosalphar), beta = arccos!l(cosbetar), gamma = arccos!l(cosgammar)
Numericamente,
cosalpha = 0,2673Rightarrow alpha approx 75^circ,
cosbeta = -0,5345Rightarrow beta approx 122^circ,
cosgamma = -0,8018Rightarrow gamma approx 144^circ

Resposta

Cossenos diretores:
cosalpha = 1raiz14, cosbeta = -2raiz14, cosgamma = -3raiz14
Ângulos diretores (arredondados ao grau):
alpha approx 75^circ, beta approx 122^circ, gamma approx 144^circ

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