Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
b) a=<1,1,-1>, b=<2,4,6>

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3, a=lang<=1,1,-1rang<= e b=lang<=2,4,6rang<=, e pede (1) o produto vetorial atimesb e (2) verificar que esse resultado é ortogonal a a e a b. O conteúdo é o cálculo de produto vetorial e a verificação de ortogonalidade via produto escalar.

Passo 2

Pela definição, se a=(a1,a2,a3) e b=(b1,b2,b3), então
atimesb=l(a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1r)
Aqui a1=1, a2=1, a3=-1, b1=2, b2=4, b3=6.

Passo 3

Calculando componente a componente:
(atimesb)1 &= a2b3 - a3b2 = 1cdot6 -(-1)cdot4 = 6 + 4 = 10, (atimesb)2 &= a3b1 - a1b3 = (-1)cdot2 - 1cdot6 = -2 - 6 = -8, (atimesb)3 &= a1b2 - a2b1 = 1cdot4 - 1cdot2 = 4 - 2 = 2
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atimesb = lang<= 10,,-8,,2rang<=

Passo 4

Para verificar ortogonalidade, calculamos
acdot(atimesb) =1cdot10 + 1cdot(-8) + (-1)cdot2 = 10 - 8 - 2 = 0,
bcdot(atimesb) =2cdot10 + 4cdot(-8) + 6cdot2 = 20 - 32 + 12 = 0
Como ambos os produtos escalar são zero, atimesb é ortogonal a a e a b.

Resposta

atimesb = lang<= 10,,-8,,2rang<=, e de fato
acdot(atimesb)=0,
bcdot(atimesb)=0.

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