Determine uma curva \gamma(t)=(x(t), y(t)), de modo que \gamma^{\prime}(t) seja ortogonal a \vec{F}(\gamma(t)), para os seguintes campos:
F(x, y)=4 x \vec{i}+2 y \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede uma curva \gamma(t)=(x(t),y(t)) tal que
\gamma'(t)\cdot \vec F(\gamma(t))=0,
onde \vec F(x,y)=(4x,2y).
Isso significa que a velocidade de \gamma é sempre ortogonal ao campo \vec F. Para resolver, vamos usar a condição de ortogonalidade e integrar para achar uma relação entre x(t) e y(t).

Passo 2

A condição de ortogonalidade é
\gamma'(t)\cdot \vec F(\gamma(t)) =x'(t)\,4x(t)+y'(t)\,2y(t)=0.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de \varphi(x,y)=2x^2+y^2 ao longo de \gamma, pois
\frac{d}{dt}\bigl(2x(t)^2+y(t)^2\bigr) =4x(t)x'(t)+2y(t)y'(t).
Logo a equação 4x x'+2y y'=0 equivale a
\frac{d}{dt}\bigl(2x^2+y^2\bigr)=0.

Passo 3

Integrando em t, obtemos
2x(t)^2+y(t)^2=C,
onde C é uma constante arbitrária. Isso diz que as curvas procuradas são as elipses de equação 2x^2+y^2=\text{constante}.

Passo 4

Para dar um exemplo de parametrização, escolha C>0 fixo e ponha
x(t)=\sqrt{\frac{C}{2}}\cos t, \qquad y(t)=\sqrt{C}\,\sin t.
Então claramente
2x(t)^2+y(t)^2 =2\Bigl(\frac{C}{2}\cos^2t\Bigr)+C\sin^2t =C(\cos^2t+\sin^2t)=C,
e por construção \gamma'(t) é ortogonal a \vec F.

Resposta

Uma parametrização conveniente é, para qualquer constante C>0,
\gamma(t)=\bigl(\sqrt{C/2}\,\cos t,\;\sqrt{C}\,\sin t\bigr),
pois satisfaz \gamma'(t)\cdot\vec F(\gamma(t))=0 e 2x(t)^2+y(t)^2=C.

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