Determine uma curva
, de modo que
seja ortogonal a
, para os seguintes campos:
Passo 1
O enunciado pede uma curva
tal que
onde
.
Isso significa que a velocidade de é sempre ortogonal ao campo
. Para resolver, vamos usar a condição de ortogonalidade e integrar para achar uma relação entre
e
.
Isso significa que a velocidade de
Passo 2
A condição de ortogonalidade é
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
ao longo de
, pois
Logo a equação
equivale a
Passo 3
Integrando em
, obtemos
onde
é uma constante arbitrária. Isso diz que as curvas procuradas são as elipses de equação
.
Passo 4
Para dar um exemplo de parametrização, escolha
fixo e ponha
Então claramente
e por construção
é ortogonal a
.
Resposta
Uma parametrização conveniente é, para qualquer constante
,
pois satisfaz
e
.