Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a solução pelo método do fator integrante, que é usado quando a equação não é exata mas pode se tornar exata multiplicada por um fator adequado.
Passo 2
Escrevemos em forma padrão
, onde
Passo 3
Verificamos a exatidão calculando
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Buscamos um fator integrante dependente apenas de
. Usamos
Calculamos
logo
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original por
. Obtém-se
Agora verificamos
que são iguais, confirmando a exatidão.
Passo 6
Procuramos a função potencial
tal que
Integrando
,
Derivando em relação a
e igualando a
,
logo
e
constante.
Passo 7
A solução geral é dada por
, ou seja,