Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante.
\left(x^{4}+y^{4}\right) d x-x y^{3} d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x^4 + y^4)\,dx - x\,y^3\,dy = 0
e pede a solução pelo método do fator integrante, que é usado quando a equação não é exata mas pode se tornar exata multiplicada por um fator adequado.

Passo 2

Escrevemos em forma padrão M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0, onde
M(x,y) = x^4 + y^4,
N(x,y) = -x\,y^3.

Passo 3

Verificamos a exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} = 4y^3, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -y^3.
Como 4y^3 \neq -y^3, a equação não é exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante dependente apenas de x. Usamos
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}\,dx\Bigr).
Calculamos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{4y^3 - (-y^3)}{-x\,y^3} = -\frac{5}{x},
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\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\frac{5}{x}\,dx\Bigr) = x^{-5}.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original por \mu(x)=x^{-5}. Obtém-se
M^*(x,y) = \frac{x^4 + y^4}{x^5} = \frac{1}{x} + \frac{y^4}{x^5}, \quad N^*(x,y) = \frac{-x\,y^3}{x^5} = -\frac{y^3}{x^4}.
Agora verificamos
\frac{\partial M^*}{\partial y} = \frac{4y^3}{x^5}, \quad \frac{\partial N^*}{\partial x} = \frac{4y^3}{x^5},
que são iguais, confirmando a exatidão.

Passo 6

Procuramos a função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M^*(x,y), \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N^*(x,y).
Integrando \partial \Phi/\partial x,
\Phi(x,y) = \int\Bigl(\frac{1}{x} + \frac{y^4}{x^5}\Bigr)dx = \ln|x| - \frac{y^4}{4x^4} + h(y).
Derivando em relação a y e igualando a N^*,
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -\frac{y^3}{x^4} + h'(y) = -\frac{y^3}{x^4},
logo h'(y)=0 e h(y)= constante.

Passo 7

A solução geral é dada por \Phi(x,y)=C, ou seja,
\ln|x| - \frac{y^4}{4x^4} = C.

Resposta

\ln|x| - \frac{y^4}{4x^4} = C

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