Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que não é exata à primeira vista. O conteúdo aqui é reconhecer uma equação diferencial de primeira ordem no formato
com
e
, verificar exatidão e, se não for exata, achar um fator integrante que dependa só de
ou só de
.
Passo 2
Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. Para isso avaliamos
que de fato é função apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora definimos
Verificamos exatidão:
logo é exata.
Passo 5
Como é exata, existe função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 6
Para achar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante arbitrária.