Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método do fator integrante.
y d x+(2 x-y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y\,dx + (2x - y)\,dy = 0
que não é exata à primeira vista. O conteúdo aqui é reconhecer uma equação diferencial de primeira ordem no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com M(x,y)=y e N(x,y)=2x-y, verificar exatidão e, se não for exata, achar um fator integrante que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y)=1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2x-y)=2.
Como 1 \neq 2, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de y. Para isso avaliamos
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{2-1}{y}=\frac{1}{y},
que de fato é função apenas de y. Logo
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int \frac{1}{y}\,dy\Bigr) =\exp(\ln|y|)=y.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y, obtendo
y\cdot y\,dx + y\,(2x - y)\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^2\,dx + (2xy - y^2)\,dy = 0.
Agora definimos
\widetilde M(x,y)=y^2, \quad \widetilde N(x,y)=2xy-y^2.
Verificamos exatidão:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=2y, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=2y,
logo é exata.

Passo 5

Como é exata, existe função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde M(x,y)=y^2.
Integramos em relação a x:
\Phi(x,y)=\int y^2\,dx = x\,y^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 6

Para achar h(y), derivamos \Phi em relação a y e igualamos a \widetilde N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =2xy + h'(y) \overset{!}{=}2xy - y^2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-y^2 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-\frac{y^3}{3}.
Logo
\Phi(x,y)=x\,y^2 - \frac{y^3}{3}.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x\,y^2 - \frac{y^3}{3} = C,
onde C é constante arbitrária.

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