Determine uma curva
, de modo que
seja ortogonal a
, para os seguintes campos:
Passo 1
O enunciado pede uma curva
tal que
seja ortogonal ao campo
. Em outras palavras, queremos
Para resolver isso, vamos escrever a condição de ortogonalidade e transformar numa equação diferencial em
e
.
Passo 2
A condição de ortogonalidade dá
Podemos interpretar isso como uma forma diferencial em
e
:
Passo 3
Note que a forma
é exatamente o diferencial de
, pois
Passo 4
Integrando
, obtemos
onde
é constante de integração. Logo, as trajetórias ortogonais satisfazem
Passo 5
Para parametrizar explicitamente, basta tomar por exemplo
. Então
e a curva
satisfaz
.