Determine uma curva \gamma(t)=(x(t), y(t)), de modo que \gamma^{\prime}(t) seja ortogonal a \vec{F}(\gamma(t)), para os seguintes campos:
F(x, y)=2 x y \vec{i}+x^{2} \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede uma curva \gamma(t)=(x(t),y(t)) tal que \gamma'(t) seja ortogonal ao campo \vec F(x,y)=2 x y\,\vec i + x^{2}\,\vec j. Em outras palavras, queremos
\vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=0.
Para resolver isso, vamos escrever a condição de ortogonalidade e transformar numa equação diferencial em x e y.

Passo 2

A condição de ortogonalidade dá
\vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) =2\,x(t)\,y(t)\,x'(t)+x(t)^{2}\,y'(t) =0.
Podemos interpretar isso como uma forma diferencial em x e y:
2\,x\,y\,dx + x^{2}\,dy = 0.

Passo 3

Note que a forma 2\,x\,y\,dx + x^{2}\,dy é exatamente o diferencial de x^{2}y, pois
d(x^{2}y) =2\,x\,y\,dx + x^{2}\,dy.

Passo 4

Integrando d(x^{2}y)=0, obtemos
x^{2}y = C,
onde C é constante de integração. Logo, as trajetórias ortogonais satisfazem
y = \frac{C}{x^{2}}.

Passo 5

Para parametrizar explicitamente, basta tomar por exemplo x(t)=t. Então
y(t)=\frac{C}{t^{2}},
e a curva
\gamma(t)=\bigl(t,\;C\,t^{-2}\bigr)
satisfaz \vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=0.

Resposta

\displaystyle \gamma(t)=\bigl(t,\;C/t^{2}\bigr), com C constante real.

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