Determine as curvas de nível C_{k} da função z=f(x, y) e esboce um mapa de contorno contendo as curvas de nível z=k com os valores especificados de k.
f(x, y)=\frac{y}{x}, k=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as curvas de nível
C_{k}=\{(x,y)\mid f(x,y)=k\}
da função
f(x,y)=\frac{y}{x}
e, em seguida, esboçar o mapa de contorno para os valores k=-2,-1,0,1,2. O conteúdo aqui é justamente o conceito de curva de nível: fixamos z=f(x,y)=k e vemos que equação no plano xy isso gera.

Passo 2

Para cada nível k, impomos
\frac{y}{x}=k.
Multiplicando ambos os lados por x (e lembrando que x\neq0), obtemos a equação geral das curvas de nível:
y = k\,x.

Passo 3

Geometricamente, a equação y=kx representa retas que passam pela origem (0,0) com inclinação (coeficiente angular) igual a k. Note que:
\
– Quando k=0, a reta é y=0 (eixo x).
– Quando k>0, as retas sobem da esquerda para a direita.
– Quando k<0, as retas descem da esquerda para a direita.
– O domínio de f exclui x=0, mas as retas atravessam o eixo vertical apenas em (0,0).

Passo 4

Agora especificamos para cada k pedido:
\begin{aligned} C_{-2}:&\quad y = -2x,\\\ C_{-1}:&\quad y = -1x,\\\ C_{0}:&\quad y = 0,\\\ C_{1}:&\quad y = 1x,\\\ C_{2}:&\quad y = 2x. \end{aligned}

Passo 5

Esboço do mapa de contorno:
Desenhe os eixos x e y. Em seguida trace as retas:
\
y=2x (reta mais “íngreme” para cima),
y=x ( 45\circ),
y=0 (eixo x),
y=-x (linha de 135\circ),
y=-2x (reta mais íngreme para baixo).
\
Marque cada reta com seu valor de k.

Resposta

As curvas de nível são as retas
C_k: y = kx,
para k=-2,-1,0,1,2, e o mapa de contorno consiste exatamente nessas cinco retas passando pela origem, com inclinações -2,-1,0,1,2.

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