Determine as curvas de nível
da função
e esboce um mapa de contorno contendo as curvas de nível
com os valores especificados de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as curvas de nível
da função
e, em seguida, esboçar o mapa de contorno para os valores
. O conteúdo aqui é justamente o conceito de curva de nível: fixamos
e vemos que equação no plano
isso gera.
Passo 2
Para cada nível
, impomos
Multiplicando ambos os lados por
(e lembrando que
), obtemos a equação geral das curvas de nível:
Passo 3
Geometricamente, a equação
representa retas que passam pela origem
com inclinação (coeficiente angular) igual a
. Note que:
\
– Quando , a reta é
(eixo
).
– Quando , as retas sobem da esquerda para a direita.
– Quando , as retas descem da esquerda para a direita.
– O domínio de exclui
, mas as retas atravessam o eixo vertical apenas em
.
\
– Quando
– Quando
– Quando
– O domínio de
Passo 4
Agora especificamos para cada
pedido:
Passo 5
Esboço do mapa de contorno:
Desenhe os eixos
e
. Em seguida trace as retas:
\
– (reta mais “íngreme” para cima),
– (
),
– (eixo
),
– (linha de
),
– (reta mais íngreme para baixo).
\
Marque cada reta com seu valor de .
\
–
–
–
–
–
\
Marque cada reta com seu valor de
Resposta
As curvas de nível são as retas
para
, e o mapa de contorno consiste exatamente nessas cinco retas passando pela origem, com inclinações
.