Determine as curvas de nível C_{k} da função z=f(x, y) e esboce um mapa de contorno contendo as curvas de nível z=k com os valores especificados de k.
f(x, y)=x^{2}+9 y^{2}, k=0,1,2,3,4

Passo 1

O enunciado pede para determinar as curvas de nível
C_{k}=\{(x,y)\mid f(x,y)=k\}
da função
f(x,y)=x^{2}+9y^{2}
para k=0,1,2,3,4. Vamos usar que a equação x^{2}+9y^{2}=k define conicas, e classificar cada C_k.

Passo 2

Para k>0, dividindo ambos os lados por k obtemos
\frac{x^{2}}{k}+\frac{9y^{2}}{k}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{k}+\frac{y^{2}}{k/9}=1,
que é a equação de uma elipse centrada na origem.

Passo 3

Extraímos as semi-abas da elipse:
– Semi-eixo em x: a=\sqrt{k}.
– Semi-eixo em y:
b=\sqrt{\frac{k}{9}}=\frac{\sqrt{k}}{3}.
Para k=0, a equação x^2+9y^2=0 só tem a solução (0,0), ou seja, curva degenerada num ponto.

Passo 4

Vamos anotar os valores de (a,b) para cada k:
\begin{aligned} k=0:&\quad C_{0}=\{(0,0)\},\\\ k=1:&\quad a=1,\\ b=\tfrac{1}{3},\\\ k=2:&\quad a=\sqrt{2},\\ b=\tfrac{\sqrt{2}}{3},\\\ k=3:&\quad a=\sqrt{3},\\ b=\tfrac{\sqrt{3}}{3},\\\ k=4:&\quad a=2,\\ b=\tfrac{2}{3}. \end{aligned}

Passo 5

Para esboçar o mapa de contorno, trace o plano xy e desenhe:
– O ponto (0,0) para k=0.
– Elipses centradas na origem, com semi-eixos (a,b) dados acima, aumentando de tamanho conforme k cresce de 1 a 4.
Rotule cada curva pelo valor de k.

Resposta

As curvas de nível são
C_{k}:\;x^{2}+9y^{2}=k,\qquad k=0,1,2,3,4,
que para k=0 é o ponto (0,0) e para k>0 são elipses de semi-eixos
a=\sqrt{k},\quad b=\frac{\sqrt{k}}{3}.

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