Determine as curvas de nível
da função
e esboce um mapa de contorno contendo as curvas de nível
com os valores especificados de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as curvas de nível
da função
para
. Vamos usar que a equação
define conicas, e classificar cada
.
Passo 2
Para
, dividindo ambos os lados por
obtemos
que é a equação de uma elipse centrada na origem.
Passo 3
Extraímos as semi-abas da elipse:
– Semi-eixo em :
– Semi-eixo em :
– Semi-eixo em
– Semi-eixo em
Para
, a equação
só tem a solução
, ou seja, curva degenerada num ponto.
Passo 4
Vamos anotar os valores de
para cada
:
Passo 5
Para esboçar o mapa de contorno, trace o plano
e desenhe:
– O ponto para
.
– Elipses centradas na origem, com semi-eixos dados acima, aumentando de tamanho conforme
cresce de 1 a 4.
Rotule cada curva pelo valor de .
– O ponto
– Elipses centradas na origem, com semi-eixos
Rotule cada curva pelo valor de
Resposta
As curvas de nível são
que para
é o ponto
e para
são elipses de semi-eixos