Esboce o gráfico da função.
f(x, y)=-\sqrt{25-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x,y) = -\sqrt{25 - x^2 - y^2}.
O que precisamos usar:
  1. Determinar o domínio pela condição de existência do radical.
  2. Reconhecer que, se z=f(x,y), então (x,y,z) satisfaz a equação de uma esfera.
  3. Identificar que o sinal “−” seleciona a parte inferior dessa esfera.

Passo 2

Para que o radical seja real, precisamos de
25 - x^2 - y^2 \ge 0
ou seja
x^2 + y^2 \le 25.
Portanto o domínio é o disco de raio 5 no plano xy.

Passo 3

Definindo
z = -\sqrt{25 - x^2 - y^2},
temos
z^2 = 25 - x^2 - y^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 + z^2 = 25.
A condição z \le 0 indica que estamos numa semiesfera (a metade inferior) de raio 5, centrada na origem.

Passo 4

Descrição do formato e contornos de nível:
As curvas de nível f(x,y)=c, com c\in[-5,0], satisfazem
x^2 + y^2 = 25 - c^2,
que são círculos de raio \sqrt{25 - c^2} no plano z=c.
  • Para c=0, temos o círculo de raio 5 em z=0.
  • Para c=-5, reduz a um ponto em (0,0,-5).
    Seções por planos como x=k ou y=k fixos geram semicircunferências.

Resposta

O gráfico de f é a semiesfera inferior de raio 5
x^2 + y^2 + z^2 = 25,\quad z\le0,
com domínio x^2+y^2\le25, que se estende de (0,0,-5) até o círculo de raio 5 no plano z=0.

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