Determine as curvas de nível C_{k} da função z=f(x, y) e esboce um mapa de contorno contendo as curvas de nível z=k com os valores especificados de k.
f(x, y)=x^{2}+y, k=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível de f(x,y)=x^2+y, ou seja, o conjunto de pontos (x,y) tal que f(x,y)=k para cada k\in\{-2,-1,0,1,2\}. Vamos usar o conceito de curva de nível: fixamos z=k e achamos a relação entre x e y. Depois esboçamos essas curvas no plano xy.

Passo 2

Para cada nível k fazemos
x^2 + y = k
e isolamos y. Assim
y = k - x^2.
Portanto a curva de nível C_k é dada por
C_k:\quad y = k - x^2.

Passo 3

A equação y=k - x^2 representa uma parábola com vértice em (0,k), aberta para baixo e simétrica em relação ao eixo y. À medida que k aumenta, a parábola desloca‐se verticalmente para cima.

Passo 4

Para esboçar cada C_k:
– Em x=0, y=k (vértice).
– Em x=\pm1, y=k-1.
– Em x=\pm2, y=k-4.
Traçamos cinco parábolas com vértices em (0,-2), (0,-1), (0,0), (0,1), (0,2), todas abertas para baixo, igualmente espaçadas de 1 unidade ao longo do eixo y.

Resposta

As curvas de nível são
C_k:\;y = k - x^2,\quad k = -2, -1, 0, 1, 2.
No mapa de contorno, aparecem cinco parábolas no plano xy com vértices em (0,k) e abertura para baixo, correspondendo a cada um dos valores de k.

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