Determine as curvas de nível
da função
e esboce um mapa de contorno contendo as curvas de nível
com os valores especificados de
.
Passo 1
O enunciado pede as curvas de nível de
, ou seja, o conjunto de pontos
tal que
para cada
. Vamos usar o conceito de curva de nível: fixamos
e achamos a relação entre
e
. Depois esboçamos essas curvas no plano
.
Passo 2
Para cada nível
fazemos
e isolamos
. Assim
Portanto a curva de nível
é dada por
Passo 3
A equação
representa uma parábola com vértice em
, aberta para baixo e simétrica em relação ao eixo
. À medida que
aumenta, a parábola desloca‐se verticalmente para cima.
Passo 4
Para esboçar cada
:
– Em ,
(vértice).
– Em ,
.
– Em ,
.
Traçamos cinco parábolas com vértices em ,
,
,
,
, todas abertas para baixo, igualmente espaçadas de 1 unidade ao longo do eixo
.
– Em
– Em
– Em
Traçamos cinco parábolas com vértices em
Resposta
As curvas de nível são
No mapa de contorno, aparecem cinco parábolas no plano
com vértices em
e abertura para baixo, correspondendo a cada um dos valores de
.