Encontre a superfície de nível S_{k} e esboce-a geometricamente.
f(x, y, z)=4 x^{2}+y^{2}+4 z^{2}, k=16

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=4x^{2}+y^{2}+4z^{2}
e pede a superfície de nível S_{k} para k=16, ou seja, o conjunto de pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^{3} tais que f(x,y,z)=16.

Passo 2

Para encontrar S_{k}, basta resolver
4x^{2}+y^{2}+4z^{2}=16.

Passo 3

Colocamos essa equação na forma canônica de elipsoide dividindo ambos os lados por 16:
\frac{4x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{4z^{2}}{16}=1
que simplifica para
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1.

Passo 4

A equação
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1
é a forma padrão de um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos \,a=2 ao longo de x, \,b=4 ao longo de y
e \,c=2 ao longo de z.
Os interceptos são (\pm2,0,0), (0,\pm4,0) e (0,0,\pm2).

Resposta

S_{k} é o elipsoide
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1,
com semi-eixos de comprimentos 2, 4 e 2 ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.

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