Determine as curvas de nível e esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
com a condição
. O que a gente precisa fazer é encontrar as curvas de nível dessa função e desenhar o gráfico dela. As curvas de nível são tipo “fatias” onde a função tem um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar manipular equações e entender um pouco sobre funções de duas variáveis.
Passo 2
Vamos começar encontrando as curvas de nível. Pra isso, vamos fixar um valor
para a função
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
e
. Primeiro, vamos inverter os dois lados:
Passo 4
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Passo 6
Essa equação representa um círculo no plano
com raio
onde:
Passo 7
Então, para cada valor de
, a curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
. Quanto maior o valor de
, menor será o raio do círculo, já que
diminui.
Passo 8
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
. Sabemos que
, o que significa que estamos trabalhando dentro do círculo de raio 1. A função
tende a infinito conforme
se aproxima de 1, formando uma espécie de cúpula.
Resposta
As curvas de nível de
são círculos centrados na origem com raio
para cada constante
. O gráfico da função é uma superfície em forma de cúpula definida para
.