Determine as curvas de nível e esboce o gráfico da função.
q(x, y)=1raiz1-x^2-y^2, x^2+y^2<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função q(x, y) = 1raiz1 - x^2 - y^2 com a condição x^2 + y^2 < 1 . O que a gente precisa fazer é encontrar as curvas de nível dessa função e desenhar o gráfico dela. As curvas de nível são tipo “fatias” onde a função tem um valor constante. Para resolver isso, vamos precisar manipular equações e entender um pouco sobre funções de duas variáveis.

Passo 2

Vamos começar encontrando as curvas de nível. Pra isso, vamos fixar um valor k para a função q(x, y) . Então, temos:
q(x, y) = k Rightarrow 1raiz1 - x^2 - y^2 = k

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para x e y . Primeiro, vamos inverter os dois lados:
raiz1 - x^2 - y^2 = 1k

Passo 4

Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 - x^2 - y^2 = 1k^2

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar x^2 + y^2 :
x^2 + y^2 = 1 - 1k^2

Passo 6

Essa equação representa um círculo no plano xy com raio r onde:
r^2 = 1 - 1k^2 Rightarrow r = raiz1 - 1k^2

Passo 7

Então, para cada valor de k , a curva de nível é um círculo centrado na origem com raio raiz1 - 1k^2 . Quanto maior o valor de k , menor será o raio do círculo, já que 1k^2 diminui.

Passo 8

Agora, vamos esboçar o gráfico da função q(x, y) . Sabemos que x^2 + y^2 < 1 , o que significa que estamos trabalhando dentro do círculo de raio 1. A função q(x, y) tende a infinito conforme x^2 + y^2 se aproxima de 1, formando uma espécie de cúpula.

Resposta

As curvas de nível de q(x, y) = 1raiz1 - x^2 - y^2 são círculos centrados na origem com raio raiz1 - 1k^2 para cada constante k . O gráfico da função é uma superfície em forma de cúpula definida para x^2 + y^2 < 1 .

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