Sabendo que lim x a f(x)=L quando |f(x)-L|<varepsilon sempre que 0< |x-a|<de<a para de<a>0 e varepsilon>0. Verifique os limites abaixo.
lim x -1(7 x+3)=-4

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite varepsilon de<a, que
limxto -1(7x+3)=-4
Aqui temos f(x)=7x+3, a=-1 e queremos mostrar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
0<lvert x-(-1)rvert<de<a Longrightarrow lvert f(x)-(-4)rvert<varepsilon

Passo 2

Calculemos a diferença entre f(x) e o valor limite proposto:
llvert f(x)-(-4)rrvert =llvert 7x+3 +4rrvert =llvert 7x+7rrvert =7,lvert x+1rvert

Passo 3

Para forçar 7,lvert x+1rvert<varepsilon, basta exigir
lvert x+1rvert<varepsilon7
Logo, se escolhermos
de<a = varepsilon7,
então sempre que 0<lvert x+1rvert<de<a teremos
llvert f(x)-(-4)rrvert =7,lvert x+1rvert <7cdotvarepsilon7 =varepsilon

Passo 4

Concluímos que para todo varepsilon>0 existe de<a=varepsilon/7 que atende à definição de limite, o que prova que
limxto -1(7x+3)=-4

Resposta

limxto -1(7x+3)=-4

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