Sabendo que lim x a f(x)=L quando |f(x)-L|<varepsilon sempre que 0< |x-a|<de<a para de<a>0 e varepsilon>0. Verifique os limites abaixo.
lim x 2 6 x-42=4

Passo 1

O enunciado quer uma prova pelo critério epsilon de<a de que
limxto 26x-42=4
Estamos no conteúdo de definição de limite de função real: mostrar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se 0<|x-2|<de<a, então l|f(x)-4r|<varepsilon, onde f(x)=tfrac6x-42.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão de f(x).
f(x)=6x-42=3x-2

Passo 3

Calculamos a diferença l|f(x)-4r|:
l|f(x)-4r|=l|(3x-2)-4r|=l|3x-6r|=3,|x-2|

Passo 4

Para garantir l|f(x)-4r|<varepsilon basta ter
3,|x-2|<varepsilon Long<=ftrightarrow |x-2|<varepsilon3
Logo, basta escolher
de<a=varepsilon3

Passo 5

Concluímos que, dado qualquer varepsilon>0, se tomarmos de<a=varepsilon/3, então sempre que 0<|x-2|<de<a teremos
l|f(x)-4r|=3|x-2|<3de<a=3cdotvarepsilon3=varepsilon
Isso prova rigorosamente que
limxto26x-42=4

Resposta

Foi demonstrado que, escolhendo de<a=varepsilon/3, satisfazemos a definição epsilon de<a, logo limxto2tfrac6x-42=4.

Exercícios relacionados