Encontre a superfície de nível
e esboce-a geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede a superfície de nível
da função
isto é, o conjunto
Para entender a geometria, vamos estudar as seções horizontais e verticais e a assinatura da forma quadrática.
Passo 2
Impondo
obtemos
ou seja
Isso mostra que, para cada plano horizontal
, a seção é o círculo de raio
.
Passo 3
Como há dois quadrados positivos
,
e um negativo
, a superfície é um hiperbolóide de uma folha. Ele é conectado e “aberto” ao longo de todo o eixo
, estreitando-se até o círculo mínimo de raio
em
.
Passo 4
Para completar o esboço, note as seções verticais:
- Em
fica , uma hipérbole com assíntotas . - Em
fica , outra hipérbole análoga.
Unindo as seções circulares horizontais com essas hipérboles, obtemos um “sanduíche” que afunila eme abre-se para , aproximando-se do cone .
Resposta
que é um hiperbolóide de uma folha com seções horizontais circulares de raio
e seções verticais hiperbólicas.