Determine as curvas obtidas pela interseção da superfície quádrica com os planos x=k, y=k e z=k, para valores k \in \mathbb{R} admissíveis. A seguir, esboce a quádrica.
superfície z=3 x^{2}+4 y^{2};

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádric
z = 3x^{2} + 4y^{2}
e pede as curvas obtidas ao intersectar essa superfície com os planos x=k, y=k e z=k, além de um esboço da quádric. O que vamos precisar é:
– Substituir x=k ou y=k na equação para ver que tipo de curva surge (parábola).
– Substituir z=k para ver que tipo de curva surge (elipse ou casos degenerados).
– Conhecer as formas padrão de parábola e elipse para descrever cada seção e, por último, lembrar que z=3x^{2}+4y^{2} é um paraboloide elíptico voltado “para cima”, com vértice na origem.

Passo 2

Interseção com o plano x=k. Substituindo x=k em
z = 3x^{2} + 4y^{2}
obtemos
z = 3k^{2} + 4y^{2}.
Essa é a equação de uma parábola no plano vertical x=k, com parâmetro y livre, vértice em y=0,\;z=3k^{2} e “abertura” ao longo do eixo y. Em forma de curva paramétrica,
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(k,\;y,\;3k^{2}+4y^{2}\bigr).

Passo 3

Interseção com o plano y=k. Analogamente, fixando y=k vem
z = 3x^{2} + 4k^{2},
que também é uma parábola no plano vertical y=k, agora com parâmetro x. Seu vértice está em x=0,\;z=4k^{2} e abre ao longo do eixo x. A forma paramétrica é
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(x,\;k,\;3x^{2}+4k^{2}\bigr).

Passo 4

Interseção com o plano z=k. Agora fazemos
k = 3x^{2} + 4y^{2}.
Para k>0, isso descreve uma elipse centrada na origem do plano z=k, cujos semi-eixos são
a = \sqrt{\frac{k}{3}}\quad(\text{direção }x), \qquad b = \sqrt{\frac{k}{4}}\quad(\text{direção }y).çãçã
No caso k=0, a equação vira
0 = 3x^{2}+4y^{2}
cuja única solução real é x=0,\;y=0: ponto degenerado. Para k<0, não há pontos reais (curva vazia), pois soma de quadrados não pode ser negativa.

Passo 5

Esboço da quádric. A superfície
z = 3x^{2} + 4y^{2}
é um paraboloide elíptico com:
– Vértice em (0,0,0).
– Seções verticais em planos x=k ou y=k que são parábolas “abertas” para z\to+\infty.
– Seções horizontais z=k que são elipses crescentes conforme k aumenta.
Imagine uma tigela alongada no sentido do eixo y (porque o coeficiente 4 faz a abertura em y menor do que em x).

Resposta

Para x=k: parábola
z = 3k^{2} + 4y^{2},
no plano x=k.
Para y=k: parábola
z = 3x^{2} + 4k^{2},
no plano y=k.
Para z=k: elipse
3x^{2} + 4y^{2} = k,\quad k>0,
ponto em (0,0,0) se k=0, e vazio se k<0.
A superfície é um paraboloide elíptico voltado para cima, com vértice na origem.

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