Determine as curvas obtidas pela interseção da superfície quádrica com os planos
,
e
, para valores
admissíveis. A seguir, esboce a quádrica.
superfície
;
superfície
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádric
e pede as curvas obtidas ao intersectar essa superfície com os planos
,
e
, além de um esboço da quádric. O que vamos precisar é:
– Substituir ou
na equação para ver que tipo de curva surge (parábola).
– Substituir para ver que tipo de curva surge (elipse ou casos degenerados).
– Conhecer as formas padrão de parábola e elipse para descrever cada seção e, por último, lembrar que é um paraboloide elíptico voltado “para cima”, com vértice na origem.
– Substituir
– Substituir
– Conhecer as formas padrão de parábola e elipse para descrever cada seção e, por último, lembrar que
Passo 2
Interseção com o plano
. Substituindo
em
obtemos
Essa é a equação de uma parábola no plano vertical
, com parâmetro
livre, vértice em
e “abertura” ao longo do eixo
. Em forma de curva paramétrica,
Passo 3
Interseção com o plano
. Analogamente, fixando
vem
que também é uma parábola no plano vertical
, agora com parâmetro
. Seu vértice está em
e abre ao longo do eixo
. A forma paramétrica é
Passo 4
Interseção com o plano
. Agora fazemos
Para
, isso descreve uma elipse centrada na origem do plano
, cujos semi-eixos são
No caso
, a equação vira
cuja única solução real é
: ponto degenerado. Para
, não há pontos reais (curva vazia), pois soma de quadrados não pode ser negativa.
Passo 5
Esboço da quádric. A superfície
é um paraboloide elíptico com:
– Vértice em .
– Seções verticais em planos ou
que são parábolas “abertas” para
.
– Seções horizontais que são elipses crescentes conforme
aumenta.
Imagine uma tigela alongada no sentido do eixo (porque o coeficiente 4 faz a abertura em
menor do que em
).
– Vértice em
– Seções verticais em planos
– Seções horizontais
Imagine uma tigela alongada no sentido do eixo
Resposta
Para
: parábola
no plano
.
Para
: parábola
no plano
.
Para
: elipse
ponto em
se
, e vazio se
.
A superfície é um paraboloide elíptico voltado para cima, com vértice na origem.