Determine as curvas obtidas pela interseção da superfície quádrica com os planos
,
e
, para valores
admissíveis. A seguir, esboce a quádrica.
superfície
.
superfície
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quadrática
e pede as curvas obtidas pela interseção com os planos
,
e
, além de esboçar a superfície. O conteúdo necessário é identificação de seções cônicas (elipse, hipérbole, etc.) por substituição de
na equação e análise do sinal dos termos resultantes.
Passo 2
Interseção com o plano
. Substituindo
na equação da superfície, obtemos
Como
para todo
, isso é sempre uma hipérbole no plano paralelo a
. Em forma canônica, basta dividir por
:
Passo 3
Interseção com o plano
. Substituindo
na equação, vem
De novo
para todo
, então é também uma hipérbole, agora num plano paralelo a
, cuja forma canônica é
Passo 4
Interseção com o plano
. Substituindo
:
- Se
, então e isso é uma elipse no plano paralelo a . - Se
, então e a única solução é , : ponto . - Se
, então e não há interseção real.
Passo 5
Esboço da superfície. Trata‐se de um hiperboloide de duas folhas simétrico em relação ao plano
, com:
- Folha superior para
e folha inferior para . - Seções por
(planos horizontais): elipses para , ponto para , vazias para . - Seções por
ou (planos verticais): sempre hipérboles. - Cone assintótico dado por
ao qual a superfície se aproxima quando
.
Resposta
As interseções são:
Para : hipérbole em
.
Para : hipérbole em
.
Para : elipse se
, ponto se
, vazia se
.
Para
Para
Para
A superfície é um hiperboloide de duas folhas aberto ao longo do eixo
.