Determine as curvas obtidas pela interseção da superfície quádrica com os planos x=k, y=k e z=k, para valores k \in \mathbb{R} admissíveis. A seguir, esboce a quádrica.
superfície z^{2}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quadrática
z^{2}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1
e pede as curvas obtidas pela interseção com os planos x=k, y=k e z=k, além de esboçar a superfície. O conteúdo necessário é identificação de seções cônicas (elipse, hipérbole, etc.) por substituição de k na equação e análise do sinal dos termos resultantes.

Passo 2

Interseção com o plano x=k. Substituindo x=k na equação da superfície, obtemos
z^{2}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{k^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad z^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1+\frac{k^{2}}{16}\;.
Como 1+\frac{k^{2}}{16}>0 para todo k\in\mathbb{R}, isso é sempre uma hipérbole no plano paralelo a yz. Em forma canônica, basta dividir por 1+\tfrac{k^{2}}{16}:
\frac{z^{2}}{1+\tfrac{k^{2}}{16}} -\frac{y^{2}/9}{1+\tfrac{k^{2}}{16}} =1\;.

Passo 3

Interseção com o plano y=k. Substituindo y=k na equação, vem
z^{2}-\frac{k^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad z^{2}-\frac{x^{2}}{16}=1+\frac{k^{2}}{9}\;.
De novo 1+\frac{k^{2}}{9}>0 para todo k, então é também uma hipérbole, agora num plano paralelo a xz, cuja forma canônica é
\frac{z^{2}}{1+\tfrac{k^{2}}{9}} -\frac{x^{2}/16}{1+\tfrac{k^{2}}{9}} =1\;.

Passo 4

Interseção com o plano z=k. Substituindo z=k:
k^{2}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{16} =k^{2}-1\;.
  • Se \lvert k\rvert>1, então k^{2}-1>0 e isso é uma elipse no plano paralelo a xy.
  • Se \lvert k\rvert=1, então k^{2}-1=0 e a única solução é x=0, y=0: ponto (0,0,\pm1).
  • Se \lvert k\rvert<1, então k^{2}-1<0 e não há interseção real.

Passo 5

Esboço da superfície. Trata‐se de um hiperboloide de duas folhas simétrico em relação ao plano xy, com:
  • Folha superior para z\ge1 e folha inferior para z\le-1.
  • Seções por z=k (planos horizontais): elipses para \lvert k\rvert>1, ponto para \lvert k\rvert=1, vazias para \lvert k\rvert<1.
  • Seções por x=k ou y=k (planos verticais): sempre hipérboles.
  • Cone assintótico dado por
z^{2}-\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=0,
ao qual a superfície se aproxima quando \lvert z\rvert\to\infty.

Resposta

As interseções são:
Para x=k: hipérbole em yz.
Para y=k: hipérbole em xz.
Para z=k: elipse se \lvert k\rvert>1, ponto se \lvert k\rvert=1, vazia se \lvert k\rvert<1.
A superfície é um hiperboloide de duas folhas aberto ao longo do eixo z.

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