Identifique e esboce as curvas no espaço que são imagem de cada função vetorial a seguir:
;
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede para identificar e esboçar sua imagem. O conteúdo aqui é curvas paramétricas em
: vamos eliminar o parâmetro
para ver a forma geométrica e depois indicar o domínio.
Passo 2
Observamos que a segunda coordenada é constante:
ou seja, a curva vive no plano
. Além disso, como
podemos resolver para
e substituir em
:
Logo, na interseção com o plano
, a curva é dada por
Passo 3
Como
implica
, a imagem não é a parábola inteira, mas apenas a “metade” para
. O ponto inicial (quando
) é
e conforme
cresce temos
aumentando e
crescendo quadraticamente.
Passo 4
Para esboçar, desenhe o plano
. Sobre ele trace a parábola de equação
somente para
. Marque o ponto
como início e uma seta ao longo do ramo para indicar a direção de
, subindo em
e abrindo em
.
Resposta
A imagem de
é o ramo da parábola
ou seja, metade de uma parábola no plano
, iniciando em
e crescendo para
.