Identifique e esboce as curvas no espaço que são imagem de cada função vetorial a seguir:
\sigma(t)=\left(t^{2}-1,2, t\right), t \geq 0;

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\sigma(t)=\bigl(t^{2}-1,\;2,\;t\bigr),\quad t\ge0,
e pede para identificar e esboçar sua imagem. O conteúdo aqui é curvas paramétricas em \mathbb{R}^{3}: vamos eliminar o parâmetro t para ver a forma geométrica e depois indicar o domínio.

Passo 2

Observamos que a segunda coordenada é constante:
y(t)=2,
ou seja, a curva vive no plano y=2. Além disso, como
z(t)=t,
podemos resolver para t e substituir em x(t):
t=z,\qquad x(t)=t^{2}-1\;\Longrightarrow\;x=z^{2}-1.
Logo, na interseção com o plano y=2, a curva é dada por
x=z^{2}-1.

Passo 3

Como t\ge0 implica z\ge0, a imagem não é a parábola inteira, mas apenas a “metade” para z\ge0. O ponto inicial (quando t=0) é
\sigma(0)=(-1,2,0),
e conforme t cresce temos z aumentando e x crescendo quadraticamente.

Passo 4

Para esboçar, desenhe o plano y=2. Sobre ele trace a parábola de equação
x=z^{2}-1
somente para z\ge0. Marque o ponto (-1,2,0) como início e uma seta ao longo do ramo para indicar a direção de t\to+\infty, subindo em z e abrindo em x.

Resposta

A imagem de \sigma é o ramo da parábola
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=2,\;x=z^{2}-1,\;z\ge0\},
ou seja, metade de uma parábola no plano y=2, iniciando em (-1,2,0) e crescendo para z\ge0.

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