Encontre uma parametrização da curva C obtida como interseção das superfícies S_{1} e S_{2}. Tente esboçar as superfícies e a curva interseção.
S_{1} com equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e S_{2} com equação y=1;

Passo 1

O enunciado pede a curva C que é a interseção da esfera
S_{1}:\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4
com o plano
S_{2}:\;y=1.
Logo o conteúdo é estudar interseção de superfícies e parametrizar o círculo que aparece.

Passo 2

Para achar essa interseção, substituímos y=1 na equação da esfera, obtendo
x^{2} + (1)^{2} + z^{2} =4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + z^{2} =3.
Isto mostra que C é o círculo de raio \sqrt{3} contido no plano y=1, centrado no ponto (0,1,0).

Passo 3

Sabendo que no plano y=1 temos um círculo de raio \sqrt{3} centrado em (0,1,0), usamos as funções trigonométricas padrão para parametrizar:
x=\sqrt{3}\cos t, \quad z=\sqrt{3}\sin t, \quad y=1.

Passo 4

Em forma vetorial, tomando t de 0 a 2\pi, a parametrização fica
\mathbf{r}(t) =\bigl(\sqrt{3}\cos t,\;1,\;\sqrt{3}\sin t\bigr), \quad 0\le t\le 2\pi.
Este é o círculo de interseção, que se obtém cortando a esfera por um plano horizontal em y=1.

Resposta

\mathbf{r}(t) =\bigl(\sqrt{3}\cos t,\;1,\;\sqrt{3}\sin t\bigr), \quad 0\le t\le 2\pi.

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