Identifique e esboce as curvas no espaço que são imagem de cada função vetorial a seguir:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização
, com
, e pede para identificar a curva no espaço e esboçá-la.
O conteúdo que vamos usar é eliminação de parâmetro em curvas paramétricas e interpretação geométrica em .
O conteúdo que vamos usar é eliminação de parâmetro em curvas paramétricas e interpretação geométrica em
Passo 2
Para relacionar
e
, note que
Dividindo por
e
e elevando ao quadrado, obtemos
Isso mostra que a projeção da curva no plano
é a elipse
Passo 3
Como a componente
é constante e igual a
, a curva está inteiramente no plano
Geometricamente, é a interseção do cilindro elíptico
com o plano horizontal
.
Passo 4
O intervalo
faz
, de modo que apenas a “metade superior” da elipse (onde
) é descrita.
Quando ,
; quando
,
. A curva vai de
a
passando por
.
Quando
Passo 5
Para esboçar, imagine no plano
uma elipse centrada em
com semi-eixo maior
ao longo de
e semi-eixo menor
ao longo de
. Desenhe apenas a porção de
, unindo
→
→
.
Resposta
A imagem de
é a “metade superior” da elipse
no plano
, orientada de
até
.