Identifique e esboce as curvas no espaço que são imagem de cada função vetorial a seguir:
\sigma(t)=(2 \cos t, 3 \operatorname{sen} t, 4), t \in[0, \pi].

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização \sigma(t) = (\,2\cos t,\;3\sin t,\;4), com t\in[0,\pi], e pede para identificar a curva no espaço e esboçá-la.
O conteúdo que vamos usar é eliminação de parâmetro em curvas paramétricas e interpretação geométrica em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para relacionar x e y, note que
x = 2\cos t, \qquad y = 3\sin t.
Dividindo por 2 e 3 e elevando ao quadrado, obtemos
\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{y}{3}\Bigr)^{2} = \cos^{2}t + \sin^{2}t = 1.
Isso mostra que a projeção da curva no plano xy é a elipse
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1.

Passo 3

Como a componente z(t) é constante e igual a 4, a curva está inteiramente no plano
z = 4.
Geometricamente, é a interseção do cilindro elíptico \tfrac{x^{2}}{4} + \tfrac{y^{2}}{9}=1 com o plano horizontal z=4.

Passo 4

O intervalo t\in[0,\pi] faz \sin t\ge0, de modo que apenas a “metade superior” da elipse (onde y\ge0) é descrita.
Quando t=0, \sigma(0)=(2,0,4); quando t=\pi, \sigma(\pi)=(-2,0,4). A curva vai de (2,0,4) a (-2,0,4) passando por (0,3,4).

Passo 5

Para esboçar, imagine no plano z=4 uma elipse centrada em (0,0,4) com semi-eixo maior 3 ao longo de y e semi-eixo menor 2 ao longo de x. Desenhe apenas a porção de y\ge0, unindo (2,0,4) (0,3,4) (-2,0,4).

Resposta

A imagem de \sigma é a “metade superior” da elipse
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1
no plano z=4, orientada de (2,0,4) até (-2,0,4).

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