Encontre uma parametrização da curva C obtida como interseção das superfícies S_{1} e S_{2}. Tente esboçar as superfícies e a curva interseção.
S_{1} com equação x^{2}+y^{2}=4 x e S_{2} com equação x+z=5;

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da curva C=S_{1}\cap S_{2}, onde S_{1} é o cilindro dado por
x^{2}+y^{2}=4x
e S_{2} é o plano
x+z=5.
Para resolver, vamos reescrever S_{1} em forma de círculo no plano xy, depois parametrizá-lo e usar a equação de S_{2} para obter z.

Passo 2

Reescrevendo a equação de S_{1} completando o quadrado em x:
x^{2}-4x + y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^{2}+y^{2}=4.
Isso mostra que, em cada altura z, S_{1} é a circunferência de centro (2,0) e raio 2 no plano xy.

Passo 3

Para parametrizar essa circunferência, introduzimos um ângulo \theta. Assim, no plano xy temos
x(\theta)=2+2\cos\theta, \quad y(\theta)=2\sin\theta, \quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 4

Como o ponto (x(\theta),y(\theta),z) deve também satisfazer o plano S_{2}\colon x+z=5, substituímos x(\theta) e obtemos
z(\theta)=5 - x(\theta) =5 - \bigl(2+2\cos\theta\bigr) =3 - 2\cos\theta.

Passo 5

Juntando tudo, a parametrização da curva C é o vetor posição
\mathbf{r}(\theta) =\bigl(x(\theta),\,y(\theta),\,z(\theta)\bigr) =\bigl(2+2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;3-2\cos\theta\bigr), \quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 6

Esboço qualitativo:
  • S_{1} é um cilindro com eixo paralelo a z e seção transversal uma circunferência de raio 2 centrada em (2,0).
  • S_{2} é um plano inclinado interceptando o eixo z em z=5 quando x=0.
    A interseção é uma curva fechada (uma “circunferência inclinada”) contida em S_{2}, cujo plano contém o círculo de S_{1}.

Resposta

A parametrização da curva de interseção é
\mathbf{r}(\theta) =\bigl(2+2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;3-2\cos\theta\bigr), \quad 0\le\theta\le2\pi.

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