Encontre uma parametrização da curva
obtida como interseção das superfícies
e
. Tente esboçar as superfícies e a curva interseção.
com equação
e
com equação
;
Passo 1
O enunciado pede a parametrização da curva
, onde
é o cilindro dado por
e
é o plano
Para resolver, vamos reescrever
em forma de círculo no plano
, depois parametrizá-lo e usar a equação de
para obter
.
Passo 2
Reescrevendo a equação de
completando o quadrado em
:
Isso mostra que, em cada altura
,
é a circunferência de centro
e raio
no plano
.
Passo 3
Para parametrizar essa circunferência, introduzimos um ângulo
. Assim, no plano
temos
Passo 4
Como o ponto
deve também satisfazer o plano
, substituímos
e obtemos
Passo 5
Juntando tudo, a parametrização da curva
é o vetor posição
Passo 6
Esboço qualitativo:
-
é um cilindro com eixo paralelo a e seção transversal uma circunferência de raio 2 centrada em . -
é um plano inclinado interceptando o eixo em quando .
A interseção é uma curva fechada (uma “circunferência inclinada”) contida em, cujo plano contém o círculo de .
Resposta
A parametrização da curva de interseção é