Questão (2) (2pts) Encontre todos os números reais que satisfazem a desigualdade abaixo:
|2 x+1x-3|<1

Passo 1

A questão pede para achar todos os reais x tais que |2x+1x-3|<1. O conteúdo é desigualdade envolvendo valor absoluto e expressão racional, e vamos precisar usar propriedades de valor absoluto ( |A/B| = |A|/|B|), análise de domínio e solução de inequação quadrática.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio da expressão. Como o denominador x-3 não pode ser zero, temos x neq 3.

Passo 3

Usamos a propriedade de valor absoluto em quociente: |2x+1x-3| = |2x+1||x-3| A desigualdade fica |2x+1||x-3|<1

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por |x-3|, que é positivo para todo xneq3, obtendo |2x+1|<|x-3| Para eliminar os valores absolutos, podemos elevar ao quadrado (já que ambos os lados são não negativos), chegando a (2x+1)^2<(x-3)^2

Passo 5

Desenvolvendo ambos os quadrados: (2x+1)^2 = 4x^2+4x+1, (x-3)^2 = x^2-6x+9 A desigualdade fica 4x^2+4x+1 < x^2-6x+9

Passo 6

Trazendo tudo para o primeiro membro: 4x^2+4x+1 - (x^2-6x+9)<0 implies 3x^2+10x-8<0

Passo 7

Resolvemos a inequação quadrática encontrando as raízes de 3x^2+10x-8=0. O discriminante é De. As raízes são x=-10pm146, ou seja, x=-4 e x=tfrac23.

Passo 8

Como o coeficiente de x^2 é positivo, o polinômio 3x^2+10x-8 é negativo entre as raízes. Logo, a solução da inequação é -4

Passo 9

Por fim, fazemos a interseção com o domínio xneq3. Como 3 não está no intervalo (-4,tfrac23), a solução final é (-4,tfrac23).

Resposta

(-4,tfrac23)

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