Determine o domínio de
. Calcule
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função vetorial
e também calcular a primeira e a segunda derivada dessa função em relação a
. Aqui, estamos trabalhando com funções vetoriais e cálculo de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como calcular derivadas de funções que envolvem raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, temos duas componentes com raízes quadradas:
-
: Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero. -
: Da mesma forma, o termo dentro da raiz quadrada deve ser não negativo.
Para que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo,
precisa estar no intervalo onde essas duas desigualdades se sobrepõem. Portanto, o domínio de
é:
Passo 3
Agora vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
, que é
. A função
é vetorial e tem duas componentes, então vamos derivar cada uma separadamente.
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Então, a primeira derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda derivada de
, ou seja,
. Novamente, vamos derivar cada componente da primeira derivada.
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Portanto, a segunda derivada de
é:
Resposta
-
Domínio de
: -
Primeira derivada
: -
Segunda derivada
: