Determine o domínio de F. Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2.
F(t)=raizt-1 i+raiz2-t j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função vetorial F(t) = raizt-1 , i + raiz2-t , j e também calcular a primeira e a segunda derivada dessa função em relação a t . Aqui, estamos trabalhando com funções vetoriais e cálculo de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como calcular derivadas de funções que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função F(t) . O domínio é o conjunto de valores de t para os quais a função está definida. Olhando para F(t) , temos duas componentes com raízes quadradas:
  1. raizt-1 : Para que a raiz quadrada seja real, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero.
    t - 1 >= 0 implies t >= 1
  2. raiz2-t : Da mesma forma, o termo dentro da raiz quadrada deve ser não negativo.
    2 - t >= 0 implies t <= 2
Para que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo, t precisa estar no intervalo onde essas duas desigualdades se sobrepõem. Portanto, o domínio de F(t) é:
1 <= t <= 2

Passo 3

Agora vamos calcular a primeira derivada de F(t) em relação a t , que é dFdt . A função F(t) é vetorial e tem duas componentes, então vamos derivar cada uma separadamente.
  1. Derivada de raizt-1 em relação a t :
    ddt ( raizt-1 ) = 12raizt-1
  2. Derivada de raiz2-t em relação a t :
    ddt ( raiz2-t ) = -12raiz2-t
Então, a primeira derivada de F(t) é:
dFdt = 12raizt-1 , i - 12raiz2-t , j

Passo 4

Agora, vamos para a segunda derivada de F(t) , ou seja, d^2Fdt^2 . Novamente, vamos derivar cada componente da primeira derivada.
  1. Derivada de 12raizt-1 em relação a t :
    ddt ( 12raizt-1 ) = -14(t-1)^3/2
  2. Derivada de -12raiz2-t em relação a t :
    ddt ( -12raiz2-t ) = -14(2-t)^3/2
Portanto, a segunda derivada de F(t) é:
d^2Fdt^2 = -14(t-1)^3/2 , i - 14(2-t)^3/2 , j

Resposta

  • Domínio de F(t) :
    1 <= t <= 2
  • Primeira derivada dFdt :
    dFdt = 12raizt-1 , i - 12raiz2-t , j
  • Segunda derivada d^2Fdt^2 :
    d^2Fdt^2 = -14(t-1)^3/2 , i - 14(2-t)^3/2 , j

Exercícios relacionados